《线性代数》第3讲 矩阵 2.1 高斯消元法

线性代数第3讲 第二章矩阵 2021/2/20

2021/2/20 1 线性代数第3讲 第二章 矩阵

21高斯消元法 2021/2/20

2021/2/20 2 2.1 高斯消元法

在实际应用中计算机采用的解线性方程组并 不用克莱姆法则,而是采用高斯消元法。 高斯消元法其实就是中学里学的加减消元法 的推广,现在我们将其用在m个方程n个未知 元的一般情况, 消元法的基本思想是通过消元变形把方程组 化成容易求解的同解方程组 下面举例说明。 3 2021/2/20

2021/2/20 3 在实际应用中计算机采用的解线性方程组并 不用克莱姆法则，而是采用高斯消元法。 高斯消元法其实就是中学里学的加减消元法 的推广，现在我们将其用在m个方程n个未知 元的一般情况。 消元法的基本思想是通过消元变形把方程组 化成容易求解的同解方程组。 下面举例说明

例1解线性方程组 2x1-2 +6x=-2 2x1-x2+2x3+4x4=-2 +4x2+4 t=-3(2.1 5x,-3x+x,+20 2 解将第一个方程乘12,得 2021/2/20

2021/2/20 4 例1 解线性方程组 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 6 2 2 2 4 2 (2.1) 3 4 4 3 5 3 20 2 x x x x x x x x x x x x x x x  − + = −   − + + = −  − + + = −    − + + = − 解 将第一个方程乘1/2, 得

+3x1=-1 2x1-x2+2x3+4x4 3x1-x2+4x3+4x4=-3 5x,-3x+x2+20x,=-2 将第1个方程乘(2)(-3),(-5)分别加到234个 方程上,得 +3x,=-1 4 x+2x,-2x1=0 2xn+4x2-5x,=0 2x+x,+5x=3 5 2021/2/20

2021/2/20 5 将第1个方程乘(−2),(−3),(−5)分别加到2,3,4个 方程上, 得 1 2 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 1 2 2 0 2 4 5 0 2 5 3 x x x x x x x x x x x x  − + = −   + − =  + − =    + + = 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 1 2 2 4 2 3 4 4 3 5 3 20 2 x x x x x x x x x x x x x x x  − + = −   − + + = −  − + + = −    − + + = −

+3 2x,-2x1=0 2x+4x,-5x1=0 2x,+x2+5x 4 将第2个方程乘(-2)加到第3,4个方程上 x+2x,-2x,=0 0 3x2+9x1=3 6 2021/2/20

2021/2/20 6 将第2个方程乘(−2)加到第3,4个方程上 1 2 4 2 3 4 2 3 4 2 3 4 3 1 2 2 0 2 4 5 0 2 5 3 x x x x x x x x x x x x  − + = −   + − =  + − =    + + = 1 2 4 2 3 4 4 3 4 3 1 2 2 0 0 3 9 3 x x x x x x x x x  − + = −   + − =  − =    − + =

+3x,=-1 2+2x3-2x4=0 =0 3x2+9x,=3 再将第3,4方程乘(-1)、(-13),并交换位置 +3x1=-1 +2x,-2x,=0 3x=-1 0 7 2021/2/20

2021/2/20 7 再将第3,4方程乘(−1),(−1/3),并交换位置 1 2 4 2 3 4 4 3 4 3 1 2 2 0 0 3 9 3 x x x x x x x x x  − + = −   + − =  − =    − + = 1 2 4 2 3 4 3 4 4 3 1 2 2 0 3 1 0 x x x x x x x x x  − + = −   + − =  − = −    =

+3x +2x,-2 4 0 (22 X4 4 0 由(22)易知x=0,将其代入第3方程得x3=-1, 回代前两个方程,分别得x2-2,x1-1.所以(1,2, 1,0)是原方程组(2.1)的解. 形如(2)方程组称为阶梯形线性方程组 8 2021/2/20

2021/2/20 8 由(2.2)易知x4=0, 将其代入第3方程得x3=−1,再 回代前两个方程, 分别得x2=2, x1=1. 所以(1,2,− 1,0)是原方程组(2.1)的解. 形如(2.2)的方程组称为阶梯形线性方程组. 1 2 4 2 3 4 3 4 4 3 1 2 2 0 (2.2) 3 1 0 x x x x x x x x x  − + = −   + − =  − = −    =

X1 +6 2x1-x2+2x3+4x4=-2 (2.1) 3x1-x2+4x2+4x1=-3 5x,-3x+x,+20x=-2 将结果(1,2,-1,0)回代到方程(2)中验算 2×1-2×2 +6×0=-2 2×1-2+2×(-1)+4×0=-2 3×1-2+4×(-1)+4×0=-3 5×1-3×2+(-1)+20×0=-2 9 2021/2/20

2021/2/20 9 将结果(1,2,−1,0)回代到方程(2.1)中验算: 2 1 2 2 6 0 2 2 1 2 2 ( 1) 4 0 2 3 1 2 4 ( 1) 4 0 3 5 1 3 2 ( 1) 20 0 2   −  +  = −    − +  − +  = −   − +  − +  = −     −  + − +  = − 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 6 2 2 2 4 2 (2.1) 3 4 4 3 5 3 20 2 x x x x x x x x x x x x x x x  − + = −   − + + = −  − + + = −    − + + = −

从上述解题过程可以看出,用高斯消元法解线 性方程组的具体做法是对方程组反复施行下 列三种变换: 用一个非零常数乘某一个方程,简称倍乘初等 变换; 把某个方程乘以常数再加到另一个方程上,简 称为倍加初等变换; 互换两个方程的位置,简称为互换初等变换 这三种变换称为方程组的初等变换.可证明方 程组经初等变换后得到的方程组是原方程组 的同解方程组任何一个方程组都可经上述初 等变换化成容易求解的同解阶梯形方程组、10

2021/2/20 10 从上述解题过程可以看出, 用高斯消元法解线 性方程组的具体做法是对方程组反复施行下 列三种变换: 用一个非零常数乘某一个方程, 简称倍乘初等 变换; 把某个方程乘以常数再加到另一个方程上, 简 称为倍加初等变换; 互换两个方程的位置, 简称为互换初等变换. 这三种变换称为方程组的初等变换. 可证明方 程组经初等变换后得到的方程组是原方程组 的同解方程组.任何一个方程组都可经上述初 等变换化成容易求解的同解阶梯形方程组