华南农业大学：《数值分析》 第五章 插值法

第五章插值法 经测量或实验得到某一函数y=f(x)在一系列点 0,x1…,x处的值J,y1,…,Jn即已知数据点 希望找到易于计算的函数P(x)≈∫(x),且满足 P(x;)=y1,i=0 这类问题称为插值问题

第五章 插值法 经测量或实验得到某一函数y=f(x)在一系列点 x x x 0 1 , , , n 处的值 y y y 0 1 , , , . n 即已知数据点： 0 1 0 1 n n x x x y y y 希望找到易于计算的函数 且满足 这类问题称为插值问题。 ( ) , , , , 0 1 P x y i n i i = =P x f x ( ) ( ), 

几何解释 y=f(x) n y=P(x) 插值函数 X 05~1 (插值)节点 09 插值区间 P(x;)=y;,i=0,1, 插值条件 插值函数就是通过n+1个给定点(x1,y)的几何曲线

——插值函数 ( ) , , , , 0 1 P x y i n i i = = O x y y f x = ( ) y P x = ( ) 1 1 ( , ) x y ( , ) n n x y 0 0 ( , ) x y 几何解释 ——（插值）节点 ——插值条件 插值函数就是通过n+1个给定点( , ) x y i i 的几何曲线。 0 [ , ] n x x ——插值区间 0 1 , , , n x x x

插值函数可以是多项式、有理分式、三角函数、指 数 函数等。本章只讨论多项式插值,即 对于给定的插值节点,如果选用多项式作为插值函数 进行插值,即构造n次多项式 P(x)=a0+a1x+…+anx", 使满足插值条件 P(x;)=y,i=0,1,…,n 这类问题称为多项式插值问题

对于给定的插值节点，如果选用多项式作为插值函数 进行插值，即构造n次多项式 使满足插值条件 这类问题称为多项式插值问题。 ( ) , , , , 0 1 P x y i n i i = = 0 1 ( ) , n P x a a x a x = + + + n 插值函数可以是多项式、有理分式、三角函数、指 数 函数等。本章只讨论多项式插值，即

§1不等距节点下的牛顿基本差商公式 1、差商 定义已知定点(x;,y)(=0,,…,),y1=∫(x1) 称fx=f(x)为f(x)在x1点的零阶差商 fLx; -fx f( ) -f(x) 称∫x,x 为f(x)在[x,x,上的一阶差商,例如 f(x1)-f(x0) f 0),fx,x1 f(x2)-f(x1)

§1 不等距节点下的牛顿基本差商公式 1、差商 已知定点 ( , )( , , , ), ( ). 0 1 i i i i x y i n y f x = = 称 [ ] ( ) i i f x f x = 称 [ ] [ ] [ , ] ( ) ( ) j i i j j j i i j i f x f x f x x f x x x f x x x − = = − − − 为 f x x ( ) 在 i 点的零阶差商； 为 f x x x ( ) [ , ] 在 i j 上的一阶差商，例如 1 0 2 1 1 0 2 0 1 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) f x x f [ ] , ] [ , , ; f x f x f x f x x x x x x x − − = = − − 定义

fx,xkl-fIxi,x; 称f1x,x1,xkl= x2-x k 为f(x)在[x,x,xk]上的二阶差商,例如 fIxisx2I-fxo,x,I fx,x/升L,x31-f1x1,x2

称 [ , ] [ , ] [ , , ] j k i j i j k k i f x x f x x f x x x x x − = − 为 f x x x x ( ) [ , , ] 在 i j k 上的二阶差商，例如 1 2 0 1 2 0 1 2 0 [ , ] [ , ] [ , , ] , f x x f x x x f x x x x − = − 2 3 1 2 3 1 2 3 1 [ , ] [ , ] [ , , ] ; f x x f x x x f x x x x − = −

般地,称f[x;x#1,…,xn fx+,x+2…,xn一1x1,x13…,x+m1 I+n 为f(x)在[x;,xn,xn上的m阶差商

一般地，称 1 [ , , , ] i i i n f x x x + + 为 f x x x x ( ) [ , , ] 在 i i n i n + + 上的n阶差商。 1 2 1 1 [ , , , ] [ , , , ] i i i n i i i n i n i f x x x f x x x x x + + + + + − + − = −

列表计算差商 x; flx, x i+i[;, *+,*i+2l1 ft -i+15i+2i+3 0 091 x f(5 flo,x,x, f1x1,x21 f(x2) [x1,x2,x3l 29

列表计算差商 i x 0 x 1 x 2 x 3 x [ ]i f x0 f x( )1 f x( ) 2 f x( ) 3 f x( ) 1 [ , ] i i f x x + 0 1 f x x [ , ] 1 2 f x x [ , ] 2 3 f x x [ , ] 1 2 [ , , ] i i i f x x x + + 0 1 2 f x x x [ , , ] 1 2 3 f x x x [ , , ] 1 2 3 [ , , , ] i i i i f x x x x + + + 0 1 2 3 f x x x x [ , , , ]

例51列出f(x)=x3在节点x=023,5,6上的各阶差商值。 解:列表计算 x八xx,x+11x,xm,x1三阶差商四阶差商 8-0 19-4 2-0 28 5 27-8 3-0 10-5 3-2 49-19 5-0 327125-27 10 14-10 6-0 49 5|125 5-3 91-49 216-125 =14 =91 6-3 6216 6-5

例5.1 列出f(x)=x3在节点x=0,2,3,5,6上的各阶差商值。 i x 0 2 3 5 6 [ ]i f x0 8 27 125 216 1 [ , ] i i f x x + 8 0 4 2 0 − = − 27 8 19 3 2 − = − 125 27 49 5 3 − = − 216 125 91 6 5 − = − 1 2 [ , , ] i i i f x x x + + 19 4 5 3 0 − = − 49 19 10 5 2 − = − 91 49 14 6 3 − = − 10 5 1 5 0 − = − 14 10 1 6 2 − = − 1 1 0 6 0 − = − 三阶差商 四阶差商 解：列表计算

说明: ①差商是反映函数值的变化速度的量; ②差商具有对称性,即差商值同节点的排列次序无关。 ∫(x1)-f(x)f(x)-f(x1) fxo, x, fx,, xo fxo,xux, fx, x21-flxo, x, f(x1) f(x2) (x。-x1)(x。-x2)(x1-x0)(x1-x2)(x2-x0)(x2-x) I=fo,x2,xI

说明： ① 差商是反映函数值的变化速度的量； ② 差商具有对称性，即差商值同节点的排列次序无关。 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 ( ) ( [ , ] [ , ] f x f x f x f x ) ( ) ( ) x x x x f x x f x x − − = = = − − 1 2 0 1 2 0 0 1 2 0 1 0 2 1 0 1 2 1 2 2 0 0 2 1 [ , ] [ , ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( [ , , ] ) f x x f x x x x f x f x f x x x x x x x x f x x x x x x x x − = − = + + − − − − − − 2 1 0 0 2 1 = = f x x x f x x x [ , , ] [ , , ]

说明: ③差商可以分解为下述形式: fIxo, xi,' . ,x iI ∑ ∫(x;) (x1-X1)…(x-x21)(x1-x+)…(x1-xk) ∑A f(x;) ④n阶多项式的差商是一个常量

说明： ③ 差商可以分解为下述形式： 0 1 1 1 1 1 [ , , , ] ( ) ( ) ( )( ) ( ) k k i i i i i i i i k f x x x f x = x x x x x x x x − + = − − − −  1 1 ( ) ; ( ) k i k i i j j j i f x x x = =  = −   ④ n阶多项式的差商是一个常量