河套学院（河套大学）：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 相似矩阵与二次型 4.3 相似矩阵

第四章 相似矩阵与与一次型 目录 4.1n 维向量的内积 14.2 矩阵的特征值与特征向量 四4.3相似矩阵 4.4二次型 4.5正定二次型 4.6应用举例 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快东学司

□ 4.1 维向量的内积 □ 4.2 矩阵的特征值与特征向量  4.3 相似矩阵 □ 4.4 二次型 □ 4.5 正定二次型 □ 4.6 应用举例 目录 快乐学习 n 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 第四章 相似矩阵与二次型

本节授裸计划 人人 (2课时) 尚本 水复习必新课 4.3相似矩阵 4.3.1相似矩阵的概念与性质 第三十一次课 4.3.2相似矩阵可对角化的条件 4.3.3 实对称矩阵的相似矩阵 小结 必思考题及答案提示 必练习、作业及参考答案 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快乐学司

快乐学习 以人 为本 ❖复习 ❖新课 4.3 相似矩阵 4.3.1 相似矩阵的概念与性质 4.3.2 相似矩阵可对角化的条件 4.3.3 实对称矩阵的相似矩阵 ❖小结 ❖思考题及答案提示 ❖练习、作业及参考答案 第 三 十 一 次 课 本节授课计划（2课时） 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型

相吴内容国预 水人 尚本 如何将线性无关向量组 01,02,,Cnm 正交化、单位化？ 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快乐学司

快乐学习 以人 相关内容回顾 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 如何将线性无关向量组    m , , , 1 2  正交化、单位化？

水人 4.3相似矩阵 尚本 1.矩阵相似 2.对角化 返回 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快东学司

快乐学习 以人 为本 主 题 词 4.3 相似矩阵 返回 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 1.矩阵相似 2.对角化

水人 新课 4.3.1相似矩阵的概念与性质 1 尚本 定义431设A与B都是n阶矩阵，若存在 个可逆矩阵P,使得 PAP=B,则称A与B 相似，记作A~B 性质4.3.1 相似的矩阵有相同的行列式 证明设A~B,即存在可逆矩阵P,使得 PAP=B,于是 B目PAPP-IAP目P‖l4=P-PAEA 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快乐学司

以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 快乐学习 4.3.1 相似矩阵的概念与性质 1 定义4.3.1 设 A 与 B 都是 n 阶矩阵，若 B 相似，记作 A~ B. P P AP = B ，使得 −1 一个可逆矩阵 , 则称 存在 A 与 性质4.3.1 相似的矩阵有相同的行列式. 证明 设 A ~ B ，即存在可逆矩阵 P ，使得 P AP = B −1 ，于是 | | | | | || || | | || || | | || | | | 1 1 1 1 B = P AP = P A P = P P A = P P A = A − − − −

0人 新课 4.3.1相似矩阵的概念与性质 2 尚本 性质43.2 相似的矩阵具有相同的可逆性； 若两个矩阵可逆且相似，则它们的逆矩阵也相似， 证明因为矩阵的可逆性由矩阵的行列式是否 为零所决定的.由性质4.31知它们具有相同的可逆 性 又设A~B,且A与B都可逆.由于B=PAP 故B=(PAP=P(P)=PAP 由定义4.3.1知，A≈BI 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快东学司

以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 快乐学习 4.3.1 相似矩阵的概念与性质 2 性质4.3.2 相似的矩阵具有相同的可逆性； 若两个矩阵可逆且相似，则它们的逆矩阵也相似. 证明 因为矩阵的可逆性由矩阵的行列式是否 为零所决定的.由性质4.3.1知它们具有相同的可逆 A ~ B A B , 1 B P AP − 又设 ，且 与 都可逆. 由于 = 故 ( ) ( ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 B P AP P A P P A P − − − − − − − − − = = = 性. 由定义4.3.1知， 1 1 ~ − − A B

0人 新课 4.3.1相似矩阵的概念与性质 3 尚本 性质433相似的矩阵有相同的特征多项式. 从而相似的矩阵有相同的特征根 证明设A~B,即B=PAP,所以 E-B目E-P-AP目P-(E-AP目P-‖P‖E-A目E-A 定理4.31设A与B都是n阶矩阵，则矩阵AB 与BA的迹相等，即 tr(AB)=tr(BA) 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快东学司

以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 快乐学习 4.3.1 相似矩阵的概念与性质 3 性质4.3.3 相似的矩阵有相同的特征多项式. 从而相似的矩阵有相同的特征根. A ~ B B P AP −1 证明 设 ，即 = ，所以 | | | | | ( ) | | || || | | |. 1 1 1 E − B = E − P AP = P E − A P = P P E − A = E − A − − −      定理4.3.1 设 A与B 都是 n 阶矩阵，则矩阵 AB 与 BA 的迹相等，即 tr(AB) = tr(BA)

水人 新课 4.3.1相似矩阵的概念与性质4 幸 证明 设A=(a,),与B=(b,),则AB的第 行第列的元素为 4bn+ab++anb,》ab, k=1 所以 n(BM）=∑ab.+aab,+.+anbm=∑∑anba k=1 i=1k=1 BA的第k行第k列的元素为 b4u+b2at+…+bau=∑bnau i=l 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快乐骨司

以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 快乐学习 4.3.1 相似矩阵的概念与性质 4 ( ) A = aij ( ) B = bij AB i i 证明 设 ，与 ，则 的第 行第 列的元素为 = + + + = n k ai bi ai b i ai nbn i ai kbk i 1 1 1 2 2  所以 tr(BA) = = + + + n k ai b i ai b i ai nbn i 1 1 1 2 2  = = = n i n k aikbki 1 1 ， . BA 的第 k 行第 k 列的元素为 = + + + = n i bk a k bk a k bkn an k bkiai k 1 1 1 2 2 

水人 新课 4.3.1相似矩阵的概念与性质5 尚本 所以 4B)=22b.a22ab, k=1=1 =k=1 于是 tr(AB)=tr(BA) 性质43.4相似矩阵有相同的迹 年中有中中中。。◆中中◆中◆◆◆◆◆中中◆◆南◆车华◆华中中中◆。年中中中年中中◆单中◆华◆中中。中中中中中。◆中中中中。。年◆◆华◆中◆中年◆中◆◆车 证明 设A~B,则存在可逆矩阵P,使得 B=PAP,由定理4.3.1，得 tr(B)=Ir(PAP)=tr(P(AP))=tr(AP)P-)=Ir(AE)=Ir(A). 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快系学可

以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 快乐学习 4.3.1 相似矩阵的概念与性质 5 tr(AB) = = = n k n i bkiaik 1 1 = = = n i n k aikbki 1 1 于是 tr(AB)= tr(BA) 所以 ， . 性质4.3.4 相似矩阵有相同的迹. 证明 设 A ~ B ，则存在可逆矩阵 P ，使得 B P AP −1 = ,由定理4.3.1，得 tr(B) ( ) 1 tr P AP − = ( ( )) 1 tr P AP − = ( ) ) −1 = tr AP P = tr(AE)= tr(A)

水人 新课 4.3.1相似矩阵的概念与性质6 尚本 根据相似矩阵的这些性质，就可以简化矩阵的 运算， 问题：拾了一个矩阵A,如何去求可逆矩阵P, 使pAP最简单？ 最简单的矩阵当然是数量矩阵kE 由PkEP=kE知，与数量矩阵相似的只有它自己. 河套大学《线性代数》课件 第四章相似矩阵与二次型 快乐骨司

以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第四章 相似矩阵与二次型 快乐学习 4.3.1 相似矩阵的概念与性质 6 根据相似矩阵的这些性质，就可以简化矩阵的 运算. 问题：给了一个矩阵 A ,如何去求可逆矩阵 P 使 P AP −1 最简单？ , 最简单的矩阵当然是数量矩阵 kE. 由 P kE P = kE − ( ) 1 知，与数量矩阵相似的只有它自己