河套学院（河套大学）：《线性代数》课程教学资源（PPT课件讲稿）第三章 线性方程组 3.5 向量空间

第三章 线性方程组 目录 3.1线性方程组和高斯 (Gauss)消元法 3.2n维向量组及向量组的线性组合 3.3向量组的线性相关性 3.4向量组的秩 四3.5向量空间 3.6齐火线性方程组解的结构 3.7非齐次线性方程组解的结构 3.8应用举例 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快东学司

第三章 线性方程组 □ 3.1 线性方程组和高斯（Gauss）消元法 □ 3.2 维向量组及向量组的线性组合 □ 3.3 向量组的线性相关性 □ 3.4 向量组的秩  3.5 向量空间 □ 3.6 齐次线性方程组解的结构 □ 3.7 非齐次线性方程组解的结构 □ 3.8 应用举例 目录 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 n

本节授裸计划 水人 (2课时) 尚本 必复习 必新课. 3.5向量空间 第二十 3.5.1向量空间与子空间 3.5.2 向量空间的基与维数 必小结 四次课 思考题及答案提示 练习、作业及参考答案 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐学司

快乐学习 以人 为本 ❖复习 ❖新课 3.5 向量空间 3.5.1 向量空间与子空间 3.5.2 向量空间的基与维数 ❖小结 ❖思考题及答案提示 ❖练习、作业及参考答案 第 二 十 四 次 课 本节授课计划（2课时） 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组

水人 3.5向量空间 尚本 主题调 1.远算封闭 2.向量空间 3.子空间 4.基 5.维数 6,坐标 返回 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快东学司

快乐学习 以人 为本 主 题 词 3.5 向量空间 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 1.运算封闭 2.向量空间 3.子空间 4.基 5.维数 6.坐标 返回

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水人 新课 3.5.1向量空间与子空间1 尚本 设V是由n维向量构成的集合，如对于任意的 a,BeV,均有a+BeV,则称集合V关于向量 的加法运算封闭；如对于任意的Qe',k∈R (R为实数集)，均有kaeV,则称集合'关于 向量的数乘运算封闭 定义3.51设V为n维向量构成的非空集合 若/关于向量的加法和数乘运算都封闭，则称 为向量空间 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐学司

以人 新课 3.5.1 向量空间与子空间 1 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 V n ,  V  +  V V  V, 设 是由 维向量构成的集合，如对于任意的 ，均有 ，则称集合 的加法运算封闭 ；如对于任意的 k R ，均有 k V ，则称集合 V 关于 关于向量 （ R 为实数集） 向量的数乘运算封闭 . V n V V 定义3.5.1 设 为 若 为向量空间. 维向量构成的非空集合， 关于向量的加法和数乘运算都封闭，则称

水人 新课 3.5.1向量空间与子空间2 尚幸 由定义3.5.1可知，全体n维向量构成一个向量 空间，称为n维向量空间，记作R”, 由一个零向量构成的集合0，也是一个向量空间， 称之为零空间 定义3.5.2设W是向量空间V的一个非空子集 如果W关于向量的加法和数乘运算都封闭，则称 W是V的一个子空间。 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐学司

维向量空间，记作 以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 3.5.1 向量空间与子空间 2 n n n R 由定义3.5.1可知，全体 维向量构成一个向量 空间，称为 . 由一个零向量构成的集合 {0} 也是一个向量空间， 称之为零空间. W V W 定义3.5.2 设 是向量空间 如果 关于向量的加法和数乘运算都封闭，则称 是 V 的一个子空间. 的一个非空子集， W

0人 新课 3.5.1向量空间与子空间3 尚幸 向量空间V本身和V中零向量组成的零空间都是 V的子空间，这两个子空间称为V的平凡子空间， 它们分别构成的最大的和最小的子空间： 的其它子空间称为非平凡子空间. 例3.5.1证明n维向量的集合Y={(a,0,,0)a,eR 为向量空间且为的子空间. 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司

以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 3.5.1 向量空间与子空间 3 向量空间 V 本身和 V 中零向量组成的零空间都是 V 的子空间，这两个子空间称为 它们分别构成 的最大的和最小的子空间. 的其它子空间称为非平凡子空间. V 的平凡子空间， V V n {( ,0, ,0) | } 1 T V = a1  a  R n R 例3.5.1 证明 维向量的集合 为向量空间且为 的子空间

认人 新课 3.5.1向量空间与子空间4 尚幸 证明对于中任意向量 Q=(a10,0)）,阝=(b,0…0), 其中a,beR以及k∈R,有 a+阝=(@+b,0,s,0)eV, k@=(ka,0,…,0)e', 即V关于向量的加法和数乘运算都封闭，所以， /是向量空间，且由于VcR,故P是向量空间 且是R”的子空间. 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司

关于向量的加法和数乘运算都封闭，所以, 以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 3.5.1 向量空间与子空间 4 V T 1  = (a ,0,  ,0) T 1  = (b ,0,  ,0) a1 ,b1 R k R 证明 对于 中任意向量 ， 其中 以及 ，有 + = a + b V T 1 1   ( ,0,  ,0) k = ka V T 1  ( ,0,  ,0) ， ， ， V V 即 是向量空间，且由于 n V  R V n R ，故 是向量空间 且是 的子空间

0人 新课 3.5.1向量空间与子空间5 尚本 例3.5.2证明n维向量的集合 V={(a,a2,',a,)a1+a42+…+an=0,a,∈R,i=1,2,n 为向量空间且为R的子空间. 证明对于中任意向量a=(a,a2,,an), B=(b,b2,,b),其中 a+a2+…+a,=0,b+b2+…+bn=0 则 a1+b+a2+b2+…+an+bn=0, 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司

以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 3.5.1 向量空间与子空间 5 例3.5.2 证明 n 维向量的集合 {( , , , ) | 0, , 1,2, } 1 2 T 1 2 V a a a a a a a R i n =  n + ++ n = i  = n 为向量空间且为 R 的子空间. V T 1 2 ( , , , )  = a a  an T 1 2 ( , , , ) n  = b b  b 证明 对于 中任意向量 ， ，其中 a1 + a2 ++ an = 0 ， b1 +b2 ++bn = 0 ， 则 a1 +b1 + a2 +b2 ++ an +bn = 0

0人 新课 3.5.1向量空间与子空间6 幸 从而 a+阝=(a+b,a+b2,,an+bn)e、 而对于任意的keR,由 ka+ka2++k@,=k(a+a+…+an)=0, 知 ka=(ka,ka,s,kan)∈ 即了关手向量的加法和数乘运算都封闭，所以， V是向量空间，且由于Vc",故V是向量空间 且是"的子空间. 河套大学《线性代数》课件 第三章线性方程组 快乐骨司

以人 新课 为本 河套大学《线性代数》课件 第三章 线性方程组 快乐学习 3.5.1 向量空间与子空间 6 n V  R n R ，故 且是 的子空间. 从而 + = a + b a + b an + bn V T 1 1 1 2   ( , ,  , ) . 而对于任意的 k R ，由 k a1 + k a2 ++ k an = k(a1 + a2 ++ an ) = 0 ， 知 k = k a k a k an V T 1 2  ( , ,  , ) ， 即 V 关于向量的加法和数乘运算都封闭，所以, V 是向量空间，且由于 V 是向量空间