北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第9章 曲线积分与曲面积分 3格林公式及其应用

第3布 第九章 老林公式及其应用 格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数全微分的求积问题 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 格林公式及其应用 第九章 三、二元函数全微分的求积问题

一、格林公式 1.两个概念 1)平面单连通区域 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围部分都属于 D,则称D为平面单连通区域；否则称为复连通☒ 域.通俗地说，平面单连通区域就是不含有"洞”（包 括“点洞”)的区域，复连通区域就是含有”洞”的区 域 2)区域边界的正向 我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走 时，D总在它的左边 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 1.两个概念 1)平面单连通区域 L l 一、 格林公式 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围部分都属于 D，则称D为平面单连通区域；否则称为复连通区 域．通俗地说，平面单连通区域就是不含有“洞”(包 括“点洞”)的区域，复连通区域就是含有“洞”的区 域． 2)区域边界的正向 我们规定L的正向如下：当观察者沿L的这个方向行走 时，D总在它的左边．

2.格林公式 定理1设区域D是由分段光滑正向曲线L围成，函数 P(x,y),Q(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，则有 器-v-手Pu÷e如wx, 其中L是D的取正向的边界曲线 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2.格林公式 定理1 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有一阶连续偏导数, 其中L是D的取正向的边界曲线．

证明：1)若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且 D-92g风 a≤x≤b 则 ao 6 X dx =∫w2y.y)dy-∫yy)dy =cex,yay-jcaexyay =(xdy+c(x)dy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且        a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 则 x y x Q D d d     = d c Q( ( y), y )dy  2   ( )  ( ) 2 1 d y y x x  Q   = CBE Q(x, y)dy  + EAC Q(x, y)dy  − d c Q( ( y), y )dy 1  = d c dy O d c y x E C A B a b D

即 心dody-jxa ① 同理可证 -gad-n地 ② ①、②两式相加得： 28dat-f人P0N, BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( )   = +   −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d

2)若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域，如图 D2 心 )dxdy 2.(0器 )dxdy =左 Pdx+Qdy(D,表示D,的正向边界)》 =f Pdx+Qdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束L 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 D1 Dn D2 ( ) 1 d d i n D i Q P x y = x y   = −    ( ) x y y P x Q D d d   −    1 d d i n D i P x Q y  = = +   = + L Pdx Qd y 为有限个上述形式的区域 , 如图 y O x ( 表示 的正向边界) Di Di 

3.平面区域的面积 正向闭曲线L所围区域D的面积 4=分2y-yd 刚32计共西上-。 (0≤0≤2元)所围面积 解：4=力，xd-yar (babsin BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积  = − L A xdy y dx 2 1 3.平面区域的面积 例9.3.2 计算椭圆 (0 2π) sin cos :      = =    y b x a L 所围面积.  = + 2π 0 2 2 ( cos sin )d 2 1 ab  ab   = π ab 解：

例9.33计算1=e'dxdy其中D是以O0,0),A(1,1), B(0,1)为顶点的三角形闭域. 解：令P=0,Q=xe,则 B(0,1) A(1,1) =e-v y=X Bx 利用格林公式，有 edxdy =xedy -Joxe *dy =fixe dx =0-e) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例9.3.3 计算 其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令 , 则 2 0, e y P Q x − = = 利用格林公式 , 有  − = D y x e dy 2 x y OA y e d 2  − = x x x e d 1 0 2  − = (1 e ) 2 1 −1 = − y = x y x A(1,1) B(0,1) D O

那35计算.之+为 xdy-ydx 其中为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线 解令r20 X 则当x2+y2≠0时=r OP (x2+y2)20y 设L所围区域为D,当(0,0)D时，由格林公式知 =0 00N BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例9.3.5 计算 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令 0 , 则当x 2 + y 2  时 设 L 所围区域为D, 当(0,0)D时, 由格林公式知 y x L O

当(0,0)eD时，在D内作圆周7：x2+y2=2,取逆时 针方向，记L和1所围的区域为D,对区域D,应用格 林公式，得 fur xdy-ydx X =八p0dd=0 - =cos9*es' d0=2π BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束       d 2π cos sin 0 2 2 2 2 2  + = = 2 π 当(0,0)D时, 在D 内作圆周 : , 2 2 2 l x + y =  取逆时 针方向, D1 , 对区域 D1 应用格  + − − l x y x y y x 2 2 d d  − + − = L l x y x y y x  2 2 d d 0d d 0 1 = =  x y D L D1 l 记 L 和 l ¯所围的区域为 林公式 , 得 y O x