北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第7章 多元函数微分及其应用 5方向导数与梯度

第5节 第七章 方向导款写梯意 一、方向导数 二、梯度 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第七章 第5节 一、方向导数 二、梯度 方向导数与梯度

一、方向导数 定义1若函数f(x,y)在点P(x,y)处 沿方向1（方向角为，阝）存在下列极限 P(x,y) lim △f X p->0 lim f(x+△x,y+△y)-f(x,y)记作f al o风a 则称⊙f 为函数在点P处沿方向1的方向导数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、方向导数 定义1 若函数 f (x, y)    f →0 lim 则称 l f   l f   为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.   ( , ) ( , ) lim 0 f x + x y + y − f x y = → 在点 P(x, y) 处 沿方向 l (方向角为  ,  ) 存在下列极限: = 记作 P(x, y) l x y O ' P  

定理若函数f(x,y)在点P(x,y)处可微， 则函数在该点沿任一方向1的方向导数存在，且有 01_⊙1cosa+ 01 0x cosB. y 其中a,B为的方向角 P(x,y) 证明：由函数f(x,y)在点P可微，得 AJ-8FAx+5 8x fAy+o(p) p()o() 1y 故 of=lim Af =+ al of cosB ∂x y BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理 若函数 f (x, y) 在点P(x, y) 处可微, 则函数在该点沿任一方向 l 的方向导数存在 ,   f l f  =   →0 limcos cos  , y f x f l f   +   =   证明: 由函数 f (x, y) y o( ) y f x x f f  +    +    = =  ( ) 且有 + o( ) 在点 P 可微 , 得 故 cos cos  y f x f   +   = P(x, y) l x y O ' P  

特别： ·当与x轴同向(a-0.月-)时，有 of ∂f al 8x ·当与x轴反向（α=，B=时，有 ∂f of al 8x 对于三元函数f(x,y,)在点P(x,y,)处可微分，则 f lim f(x+△x,y+△y,2+△2)-f(x,y,2) al 0→0 of cosy x 0y z p=△)2+(42+（△2 Ax=pcos a,Ay=pcos B,Az=pcosy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 x f l f   =   特别: • 当 l 与 x 轴同向 ( )时,有 2 0,  α = β = • 当 l 与 x 轴反向 ( )时,有 2 ,  α =  β = x f l f   = −   对于三元函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微分，则   ( , , ) ( , , ) lim 0 f x + x y + y z + z − f x y z = l → f   cos cos  cos z f y f x f   +   +   =

例7.5.1求函数z=x2+y在点(2,1)处沿方向7=37-47 的方向导数 解：向量1的方向余弦为 cosa= 5 cosB-- 4 =2x =4, =2y以 =2, (21 (2,1 ay2, (2,1) 故在点(2,1)处，所求方向导数 84月 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.5.1 求函数 在点 (2, 1) 处沿方向 的方向导数 . 2 4, (2,1) (2,1) = =    x x z 解: 向量 l 的方向余弦为 2 2, (2,1) (2,1) = =   y y z 故在点 (2, 1) 处，所求方向导数 . 5 4 5 4 2 5 3 4  =      =  +  −   l z

二、梯度 定义2设函数：=x,y)在点(x,y)的某邻域内具 有一阶连续偏导数⊙/，⊙，则向量 Ox'oy y+0yj 8x 称为函数z=x,y)在点(x,y)的梯度，记作gradfx, ),即 gradf(x,y)= 8 x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 定义2 设函数z＝f(x，y)在点(x，y)的某邻域内具 有一阶连续偏导数 ,则向量 y f x f     , j y f i x f   +   称为函数z＝f(x，y)在点(x，y)的梯度，记作gradf(x， y)，即 j y f i x f f x y   +   grad ( , ) =

当9=0时，太到最大，最大值是 gradf(x,y) +鬧 即方向与梯度的方向一致时，方向导数取到最大 值.梯度的方向是函数x,y)在点(x,y)增长最快 的方向 (2)当0=时， 达到最小，最小值是 -gradf(x,y). 即负梯度的方向是函数(x,y)在点(x,y)减少最快 的方向 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 (1)当θ＝0时， 达到最大，最大值是 | ( , )| . 2 2           +           = y f x f gradf x y − | gradf (x, y)|. l f   即方向l与梯度的方向一致时，方向导数取到最大 值．梯度的方向是函数f(x，y)在点(x，y)增长最快 的方向． (2)当θ＝π时， 达到最小，最小值是 l f   即负梯度的方向是函数f(x，y)在点(x，y)减少最快 的方向．

梯度的几何意义 对函数：=f(x,y),曲线 八”在x0面上的投影 z=0 L:f(x,y)=c称为函数f的等值线或等高线 .举例 设fx,才，不同时为零，则L上点P处的法向量为 (fx,fy)p=gradf p =Vf p 函数在一点的梯度垂直于该点等值线」 指向函数增大的方向 同样，f(x,y,z)=c称为u=f(x,y,z) X 的等值面（等量面）.当其各偏导数不同 (设c<C2) 时为零时，其上点P处的法向量为gradfp=Vfp BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上 下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 梯度的几何意义 O y x 1 f = c f = c ( ) 1 2 设c  c P 曲线 在 xOy 面上的投影 z c z f x y    = = ( , ) L : f (x, y) = c * 称为函数 f 的等值线或等高线 . 设 , 不同时为零 , x y f f 则L *上点P 处的法向量为 x y P ( f , f ) P = grad f 2 f = c 对函数z = f (x, y), 举例 函数在一点的梯度垂直于该点等值线, 指向函数增大的方向. 同样, 的等值面(等量面). 当其各偏导数不同 其上点 P 处的法向量为 P grad f 称为 时为零时, P =  f . P =  f

例7.5.3求梯度向量gd x+y 解于求智 2x ar 2y Ox (x2+y2)20y (x2+y2)2 2x ∴gad 2y x2+y2-( BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例7.5.3 求梯度向量 解: 由于

内容小结 1.方向导数 ·二元函数f(x,y)在点P(x,y)沿方向1（方向角为 心，B)的方向导数为 Of =of cosa+ Of cosB-Ofcosa+ sin a ∂lax Ox y ·三元函数f(x,y,z)在点P(x,y,z)沿方向1（方向角 为a,B,y)的方向导数为 ∂f_af cosa of cosB+2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 1. 方向导数 • 三元函数 在点 沿方向 l (方向角 为, ,  ) 的方向导数为 cos cos  cos z f y f x f l f   +   +   =   • 二元函数 在点 ,  ) 的方向导数为 cos cos  y f x f l f   +   =   沿方向 l (方向角为