北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第8章 重积分 2二重积分的计算

第2节 第八章 二重积分的计算 在直角坐标系下二重积分的算法 二、在极坐标系下二重积分的算法 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第2节 一、在直角坐标系下二重积分的算法 二、在极坐标系下二重积分的算法 二重积分的计算 第八章

在直角坐标系下二重积分的算法 定理1 由曲顶柱体体积的计算，当被积函数f(x,y)≥0 且在D上连续时，若D为X-型区域 y=02(x) p1(x)≤y≤p2(x) a≤x≤b Qay=(bx 则 ,/ndd-ag f(x,y)dy 定理2若D为 .w d Y-型区域 则aad=dctr x=v(v) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 O y ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y x d c 且在D上连续时, 当被积函数 f (x, y)  0        a x b x y x D ( ) ( ) : 1 2 D f (x, y)dxdy f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1     = b a d x 定理1 由曲顶柱体体积的计算, 若D为 X - 型区域 则 O ( ) 1 y =  x ( ) 2 y =  x b x y D a x 定理2 若D为 Y - 型区域        c y d y x y D ( ) ( ) : 1  2 y f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1     d c 则 d y 一、在直角坐标系下二重积分的算法

当被积函数f(x,y)在D上变号时，由于 fx,)= f(x,y)+f(x,y)f(x,y)-f(x,y) 2 2 (x,y) 2(x,y)均非负 f()dxdy=)dxdy ∬n/cx,)dxdy 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 当被积函数 f (x, y) − + = 2 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x y f x y 2 f (x, y) − f (x, y) ( , ) 1 f x y ( , ) 2 f x y 均非负 在D上变号时, 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 . 由于

特别：(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域 则有 )dxdy y=2(x) f(x,y)dy xW2(y） =ayrds b x 为计算方便，可选择积分序，必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂，可将它分成若干 X-型域或Y-型域，则 n=八+∬o+n BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 x y O x y D O 特别: (1) 若积分区域既是 X - 型区域又是Y - 型区域 , D f (x, y)dxdy 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x a b ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y d c 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1     = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1     = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X - 型域或Y - 型域 ,     = + + D D1 D2 D3 则

例s.2.1计算二重积分1=∬(x+)dxdy 其中D是矩形域D={(x,y)川1≤x≤2,0≤y≤3} 解法1先对y,后对积分： 1-a*ay-lw+片。d: =[3x*1=+=9 解法2先对x,后对积分 1-a,edx-l写*wy =I*]a-*好 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例8.2.1 计算二重积分 ( )d d ,  = + D I x y x y 其中D是矩形域 解法1 先对y，后对x积分： I =  2 1 d x  + 3 0 (x y)d y  = 2 1 d x    = + 2 1 d 2 9 3x x   9. 1 2 2 9 2 3 2 = x + x =   0 3 2 2 y x y + 解法2 先对x，后对y积分： D ={(x, y)|1 x  2,0  y  3}. I =  3 0 d y  + 2 1 (x y)d x  = 3 0 d y    = + 3 0 d 2 3 y y   9. 0 3 2 1 2 3 2 = y + y =   1 2 2 2 x y x +

例8.2.4计算1=川(x2+y2-x)dxdy,其中D由 x=2,y=x,y=2x所围成的闭区域 y=2x 解：画出积分区域D,可以看出D既 是X型区域，也是Y区域，先对y后 对x积分方便.D可以写成 X D={(x,y)x≤y≤2x,0≤x≤2 I-fdx["(x2+y-x)dy fr sar 32 3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例8.2.4 计算 ( )d d , 2 2  = + − D I x y x x y x＝2，y＝x，y＝2x所围成的闭区域． 解: 画出积分区域D，可以看出D既 是X型区域，也是Y区域，先对y后 对x积分方便．D可以写成 其中D由 y = x O 2 y x y = 2x x D ={(x, y)| x  y  2x;0  x  2}.   = + − x x I x x y x y 2 2 2 2 0 d ( )d         = −       = + − 2 0 3 2 2 0 2 2 3 d 3 10 d 3 1 x y y x y x x x x x x . 3 32 =

二、在极坐标系下二重积分的算法 0,+△0 在极坐标系下，用同心圆”=常数 及射线日=常数，分划区域D为 △o(i=1,2,…,n 则除包含边界点的小区域外，小区域的面积 △0，=(g+△2.△0，-·△0 =[:+△]△W△0 =△O 在△0，内取点G,0),对应有 =ncos0,n=sin 0. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、在极坐标系下二重积分的算法 O x i i i = r r  cos , sin . i i i i i i  = r   = r  对应有 在极坐标系下, 用同心圆 r =常数 则除包含边界点的小区域外,小区域的面积  i (i 1,2, ,n)  i =  在  i ( , ), i i r   i i + i i r  i i i − r  2 2 1 内取点 i i i = r + r  2 2 1 ( ) 及射线  =常数, 分划区域D 为 i i r  i r i r i O i i r + r

∑5n,)Ao, i三】 =g∑/(7cos日7sma)7dyAe i=l 即 小nfx,)da=J∬f(rcos0,rsin)rdrd6 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 i i i i i i i n i f r  r  r r   =     = → lim ( cos , sin ) 1 0 D 即 f (x, y)d r d r d  = D f (r cos,rsin ) d r d r rd d O

定理3 设x,y)在闭区域D上连续，通过极坐标代换 x=cos0,y=rsin0,则有 f(x)dxdy=f(rcos0,rsin 0)rdrdo. 三p2(0) 1.极点O在积分区域D之外 设D pOsr≤0 则 f(rcoso,rsin)rdrdo -r0rsimdr =01(0) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束   D ( ) r =1  ( ) r =2  O x  ( ) ( ) 2 1 ( cos , sin ) d     f r  r  r r 设 , ( ) ( ) : 1 2             r   D 则 D f (r cos,rsin )r d r d  =   d ( ) r =1    ( ) r =2  O x D 1.极点O在积分区域D之外 定理3 设f(x，y)在闭区域D上连续，通过极坐标代换 x＝rcosθ，y＝rsinθ，则有 ( , )d d ( cos , sin ) d d .   = D D f x y x y f r  r  r r 

2.极点O在积分区域D的边界上 D={(r,O)I0≤r≤p(O),a≤0≤B} f(rcos0,rsin0)rdrdo =∫d6f0 0,.rsn0rdr 3.设极点O在D的内部 f(rcos0,rsin0)rdrdo "dfrcs0.rsimD)rdr BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 r =( ) D O x 0 2π 0 ( ) :         r   D D f (r cos,rsin )r d r d  ( ) 0 ( cos , sin ) d   f r  r  r r  = 2π 0 d 3.设极点O在D的内部 2.极点O在积分区域D的边界上 D ={(r,)| 0  r (),   }, ( cos , sin ) d . ( ) 0   f r  r  r r D f (r cos,rsin )r d r d  =   d