北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第8章 重积分 3二重积分的应用

第3为 第八章 二重积分的在用 一、 曲面的面积 二、 平面薄片的重心 三、平面薄片的转动惯量 四、平面薄片对质点的引力 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、曲面的面积 二、平面薄片的重心 二重积分的应用 第八章 三、平面薄片的转动惯量 四、平面薄片对质点的引力

一、曲面的面积 设光滑曲面S:z=f(x,y),(x,y)∈D 则面积A可看成曲面上各点M(x,y,2) 处小切平面的面积dA无限积累而成 设它在D上的投影为do,则 四do do=cosy.dA y+-刃 dA=1+f(x,y)+f(x,y)do (称为面积元素 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 n  M d A d k 一、曲面的面积 x y z S O 设光滑曲面 则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y,z) 处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d , d = cos d A 1 ( , ) ( , ) 1 cos 2 2 f x y f x y + x + y  = d 1 ( , ) ( , ) d 2 2 A f x y f x y = + x + y (称为面积元素) 则   M n d

故有曲面面积公式 A=∬2V1+f(x)+x,)dc 即 dxdy. 若光滑曲面方程为x=x(y,),(少，)∈D,:,则有 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 故有曲面面积公式 1 ( , ) ( , ) d 2 2  = + + Dxy x y A f x y f x y 1 ( ) ( ) d d . 2 2 x y y z x z A Dxy    +   = + 若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dy z x = x y z y z  则有 Dy z 即

若光滑曲面方程为y=y(2,x),(:,x)∈D。x,则有 4=1+2+8户da BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 z x x y z y A 1 ( ) ( ) d d 2 2   +   = +  若光滑曲面方程为 ( , ) , ( , ) , Dz x y = y z x z x  则有 Dz x

例8.3.1求半径为R的球的表面积 解：利用球坐标方程 Rsin odO 设球面方程为r=R 球面面积元素为 Rsin o d A=R"sin ododo Rdo A-R"dsin odp =4πR2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例8.3.1 求半径为 R 的球的表面积. 解: 设球面方程为 r = R 球面面积元素为 d sin  d d 2 A = R    = π 0 2π 0 2 A R d sin  d 2 = 4 π R Rsin  Rd 利用球坐标方程. O   R x y z d Rsin d

二、平面薄片的重心 设xO平面有个质点，分别位于(x,y,),其质量分别为 m,(i=1,2,…,n),由力学知道，该质点系的重心坐标 M mx, ∑my 为 X= y= M Σm M i=l 设物体占有闭区域D,有连续密度函数4(x,y),则 采用”分割，近似，求和，取极限”可导出其重心公 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、平面薄片的重心 设xOy平面有n个质点, ( , ) , i i x y 其质量分别为 m ( i 1, 2, , n ) , i =  由力学知道, 该质点系的重心坐标 , 1 1   = = = = n i i n i i i y m m x M M x . 1 1   = = = = n i i n i i i x m m y M M y 设物体占有闭区域 D , 有连续密度函数 则 分别位于 为 即: 采用 “分割, 近似, 求和, 取极限” 可导出其重心公 式

将D分成n小块，在第i块上任取一点(5,7)， 将第i块看作质量集中于点(5,7)的质点，此质点 系的重心坐标就近似该物体的重心坐标.例如， ∑5，p(5,n,)△y i=l X≈ ∑p(5n)An i= 令各小区域的最大直径2→0，即得 )dxdy ()dxdy BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 将 D分成 n 小块, 将第 i 块看作质量集中于点 例如,   = =    n i i i i n i i i i i v v x 1 1 ( , ) ( , )        令各小区域的最大直径  → 0,   = D D x y x y x x y x y x ( , )d d ( , )d d   系的重心坐标就近似该物体的重心坐标. 的质点, 即得 此质点 在第 i 块上任取一点

同理可得 ()dxdy Y= (x)dxdy 当面密度4(x,y)=k为常量时，则得形心坐标 =da,-机do， (A=do为闭区域D的面积) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 同理可得 当面密度 (x, y) = k为常量时, 则得形心坐标： d , 1 d , 1   = = D D y A x y A x   ( A 为闭区域D的面积 ) D = d . ( , )d d ( , )d d   = D D x y x y y x y x y y  

例8.3.5求位于两圆r=2sin0和r=4sin0之间均匀薄片 的重心 解：利用对称性可知x=0 而y=d zI。sn8dd0 32an9agdrnp0 9元 4223 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 4 例8.3.5 求位于两圆 和 的重心. 2 D 解: 利用对称性可知 x = 0 而  = D y x y A y d d 1  = D r sin drd 3π 1 2 r d r 4sin 2sin 2    sin  d 9 π 56 π 0 4  = =  2 9 π 56 2 sin  d 9 π 56 2 π 0 4  =  3 7 = 之间均匀薄片  = π 0 sin d 3π 1    4 3  2 1 2 π O y x C

三、平面薄片的转动惯量 设xO平面有个质点，分别位于(x,y,),其质量分别为 m,(i=1,2,,n),由力学知道，该质点系关于直线的 转动惯量为 1,=m。 其中r是点x,y)到直线的距离.该质点系关于x 轴以及轴的转动惯量依次为 1=∑m,=∑对m BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、平面薄片的转动惯量 设xOy平面有n个质点, ( , ) , i i x y 其质量分别为 m ( i 1, 2, , n ) , i =  由力学知道, 该质点系关于直线l的 , . 1 2 1 2   = = = = n i y i i n i I x yi mi I x m , 1 2 = = n i l i mi I r 分别位于 转动惯量为 其中ri是点(xi，yi )到直线l 的距离．该质点系关于x 轴以及y轴的转动惯量依次为