北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第5章 定积分 3微积分基本公式

第3节 第五章 微积分基本公式 变速直线运动中位置函数 与速度函数之间的联系 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿-莱布尼茨公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 一、变速直线运动中位置函数 与速度函数之间的联系 第3节 微积分基本公式 第五章

变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 在变速直线运动中，已知位置函数s()与速度函数v( 之间有关系： s'(t)=v(t) 物体在时间间隔[，T,]内经过的路程为 v()d1=s(T3)-s(I）) 这里s(t)是v()的原函数 这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 在变速直线运动中, 已知位置函数 与速度函数 之间有关系: s (t) = v(t) 物体在时间间隔 内经过的路程为 ( )d ( ) ( ) 2 1 2 1 v t t s T s T T T = −  这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性

二、积分上限的函数及其导数 定理1如果函数x)在区间[a,b]上连续，则积分上 限的函数 )=f()d 在区间[a,b]上可导，且 oe)=d-(rea=)创 定理2 如果x在[a,b上连续，则D()=∫。f)d 就是x)在[a,b]上的一个原函数. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、积分上限的函数及其导数  = x a (x) f (t)dt 定理1 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分上 限的函数 在区间[a，b]上可导，且 定理2 如果f(x)在[a，b]上连续，则 就是f(x)在[a，b]上的一个原函数．

说明： 1)定理2证明了连续函数的原函数是存在的.同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 2)其他变限积分求导 70d=-网 &g7ed-jipx1pe &Jrod-=[ad+ged] f[p(x)]o(x)-f[w(x)]y'(x) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 定理 2 证明了连续函数的原函数是存在的. 2) 其他变限积分求导:  ( ) ( )d d d x a f t t x  = f [(x)](x) 同时为 通过原函数计算定积分开辟了道路 .  ( ) ( ) ( )d d d x x f t t x   = f [(x)](x) − f [(x)](x)   +   =   ( ) ( ) ( )d ( )d d d x a a x f t t f t t x  

三、牛顿一莱布尼茨公式 定理3设F(x)是连续函数f(x)在[a,b]上的一个原 函数，则〔Cf(x)dx=F(b)-F(a)(牛顿-莱布尼茨公式) 证：根据定理2，∫。f(x)dr是f()的一个原函数，故 F(x)=["f(x)dx+C 令x=a,得C=F(a),因此∫f(x)dx=F(x)-F(a) 再令x=b,得 7r=Fb-Fa作[r治盛r8 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、牛顿 – 莱布尼茨公式 f (x)dx F(b) F(a) b a = −  ( 牛顿 - 莱布尼茨公式) 证: 根据定理2, 故 F x f x x C x a = +  ( ) ( )d 因此 f (x)dx F(x) F(a) x a = −  得 记作 定理3 函数 , 则 或

例5.3.2计算 解J疗，子d女-an小- 3 3 arctan(-1) 3 5π 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C08 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.3.2 计算 解:

e 例5.3.8计算 lim COSx x→0 x2 e"dt COSx 解：lim COSx -h"e"d lim x>0 x2 x>0 x2 lim e(sin x) x>0 2x 2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e0-C-①8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例5.3.8 计算 解:

内容小结 1.微积分基本公式 设f(x)∈CLa,b],且F'(x)=f(x),则有 ["f(x)dx=f(5)(b-a)=F(5)(b-a)=F(B)-F(a) 积分中值定理 微分中值定理 牛顿-莱布尼茨公式 2.变限积分求导公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 设 f (x)C[a,b], 且F(x) = f (x), 则有 1. 微积分基本公式 =  f x x b a ( )d 积分中值定理 = F()(b − a) = F(b) − F(a) 微分中值定理 f ()(b − a) 牛顿 – 莱布尼茨公式 2. 变限积分求导公式

作业 P1701(1),3),(5),(7) 2(2)； 3(2),(4),(6),(8),(10)； 5(1),(4)； 6(2): 7; BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS ©-◆-0C08 第4节目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 作业 第4节 P170 1 (1) , (3) , (5) , (7) ; 2 (2) ; 3 (2) , (4) , (6) , (8) ,(10) ; 5 (1) , (4) ; 6 (2) ; 7;

备用例题 .设rm=2-xj后/)dx+2j。/ax,求f 解：定积分为常数，故应用积分法定此常数 设 0f)dx=a,fc)dx=b,则 f(x)=x2-bx+2a b 31 +2a =e=写- +2m =0 2b+4a 一a=3b= 4 →f(x)=x2- 2 3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 备用例题 解： 1. 设 求 定积分为常数 , ( )d , 1 0 f x x = a 设  f x x = b  2 0 ( )d , 则 故应用积分法定此常数