北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第2章 导数与微分 4高阶导数

第二章 第4节 高阶导数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C①8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第4节 高阶导数 第二章

引例：变速直线运动s=s(t) 速度 ds 1y= 即v=s dt 加速度 a= 即 a=(s)' BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C①8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 速度 即 v = s  加速度 即 a = (s ) 引例：变速直线运动

定义.若函数y=f(x)的导数y=f"(x)可导，则称 f'(x)的导数为f(x)的二阶导数，记作y”或 y”=(y或 dx 类似地，二阶导数的导数称为三阶导数，依次类推 n-1阶导数的导数称为n阶导数，分别记作 或 dx3 d x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定义. 若函数 y = f (x) 的导数 y  = f (x) 可导, 或 即 y  = ( y ) 或 ) d d ( d d d d 2 2 x y x x y = 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , n −1 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的导数为 f (x) 的二阶导数 , 记作 依次类推 , 分别记作 则称

例2.4.2设y=ea,求y) 解：y'=aea，y”=ae,y"=a3ea y(n)a"eax y'=- 1-x 特别有：(e)m=ex 例2.4.4设y=1n(1+x),求ym y”= 1-x)2 (1+x)2,”=(-12 1.2 1+x)3 yw=() 1+x)m 规定0！=1 思考：y=ln(1-x),yw=- (n-1)月 (1-x)” BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 n (1+ x) e , , y  = a 3 ax  例2. 4.2 设 求 解: 特别有: 解: (n −1)! 规定 0 ! = 1 思考: e , ax y = . (n) y e , ax y  = a e , 2 ax y  = a n n ax y a e ( ) = x n x (e ) e ( ) = 例2.4.4 设 求 , 1 1 x y +  = , (1 ) 1 2 x y +  = − , (1 ) 1 2 ( 1) 3 2 x y +   = − = (n) y 1 ( 1) − − n x y −  = − 1 1 y  = − 2 (1 ) 1 − x 

例2.4.3设y=sinx,求ym 解：y'=cosx=sin(x+乃) y"=cos(x+)=sin(x+) =sin(x+2·) y”=cos(x+2·)=sin(x+3·) 般地，(sinx)m)=sin(x+n:) 类似可证 (cosx)m）=cos(x+n5) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例2.4.3 设 求 解: y  = cos x sin( ) 2 π = x + cos( ) 2 π y  = x + sin( ) 2 π 2 π = x + + sin( 2 ) 2 π = x +  cos( 2 ) 2 π y  = x +  sin( 3 ) 2 π = x +  一般地 , x = x + n (sin ) sin( ( ) 类似可证: x = x + n (cos ) cos( ( ) ) 2 π n  ) 2 π n 

高阶导数的运算法则 设函数u=u(x)及v=v(x)都有n阶导数，则 1.(u士v)m=un±vn） 2.(Cu)m=Cm(C为常数) 3.(u)o=av+nu-y+n-） 2列 规律 ++n-D小…（n-k+Dn-v) k! ++2up(m） 莱布尼茨(Leibniz)公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 规律目录上页下页返回结束

规律 目录 上页 下页 返回 结束 高阶导数的运算法则 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 2! n(n −1) ! ( 1) ( 1) k n n − n − k + + +   莱布尼茨(Leibniz) 公式 设函数 及 规律

内容小结 高阶导数的求法 (1)逐阶求导法 (2)利用归纳法 (3)间接法 利用已知的高阶导数公式 如下列公式 (sinx)m）=sin(x+n.) (cosx)m=cos(x+n·) (1m=(-10 n! a+x (a+x)"+l (4)利用莱布尼茨公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 (1) 逐阶求导法 (2) 利用归纳法 (3) 间接法 —— 利用已知的高阶导数公式 (4) 利用莱布尼茨公式 高阶导数的求法 ( ) = + 1 (n) a x 1 ( ) ! ( 1) + + − n n a x n 如下列公式 x = x + n (sin ) sin( ( ) x = x + n (cos ) cos( ( ) ) 2 π n  ) 2 π n 

思考与练习 1.如何求下列函数的n阶导数？ 1-x 2 (1) y= 解：y=-1+ 1+x 1+x y=2(-1 n! (1+x)+l (2) y= 1-x 解：y=-x2-x-1+,1 1-x ynm）= n! 1-x)+1,n≥3 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习 1 ( ) (1 ) ! 2( 1) + + = − n n n x n y , 3 (1 ) ! 1 ( )  − = + n x n y n n 1. 如何求下列函数的 n 阶导数? x x y + − = 1 1 (1) x x y − = 1 (2) 3 解: 解:

(3)y=x2-3x+2 A B 提示：令 (x-2)(x-1)x-2x-1 1=c-2)-2Xx-lx=21 B=-》2alk-1=- y=x -2x-1 y=(-1)"n! -1 aa可 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 3 2 1 2 − + = x x y 1 1 2 1 − − −  = x x y       − − − = − +1 +1 ( ) ( 1) 1 ( 2) 1 ( 1) ! n n n n x x y n (3) ( 2)( 1) 2 1 1 − + − = − − x B x A x x 提示: 令 A = (x − 2) x = 2 B = (x −1) x =1 =1 = −1 ( 2)( 1) 1 x − x − ( 2)( 1) 1 x − x −

(4)y=sinx+cos6x 解：y=(sin2x)3+(cos2x)3 sin x-sin2 xcos2 x+cos4 x (sin2 x+cos2 x)2-3sin2 xcos2 x =1-3sin22x sin2 a 1-cos2a 4 2 53 +-cos4x 88 yW=4cs(4x+n》 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 y x x 6 6 (4) = sin + cos x x x x 4 2 2 4 = sin − sin cos + cos sin 2x 4 3 1 2 = − 8 ( ) 3 = n y n  4 + = 3 3 a b (a + b)( ) 2 2 a − ab + b cos(4 ) 2 π x + n 2 1 cos 2 sin2   − = 解: