北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第1章 函数、极限与连续 6极限存在准则及两个重要极限

第6为 第一章 极限存在准则及 两个重要极限 极限存在准则 二、两个重要极限 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 二、 两个重要极限 一、极限存在准则 第6节 极限存在准则及 两个重要极限 第一章

一、极限存在准则 准则I 如果数列，{x,},{yn和{z满足 (1)Jym≤xm≤m(n=1,2,3,…) (2) lim y lim=a, n→0∞ 则数列 x的极限存在，且 lim x =a n→o0 准则I称为夹逼定理，它可以推广到函数极限 的情形 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、极限存在准则 准则Ⅰ称为夹逼定理，它可以推广到函数极限 的情形. 准则Ⅰ 如果数列， 满足 (1) yn≤xn≤zn (n＝1,2,3， …)； (2) 则数列 的极限存在，且 lim y lim z a, n n n n = = → → lim x a. n n = →

准则I 如果函数x),gc),hc)满足 (I)当x∈U(x,δ)时，g(x)≤f(x)≤h(x),且 (x>X>0) (2)lim g(x)=lim h(x)=4 x→X0 x→X0 (x→0） (x→o) lim f(x)=4 x->X0 (x>∞） 准则I 单调有界数列必有极限 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 准则Ⅰ′ 如果函数f(x)，g(x)，h(x)满足 (1) ( , ) , 当 x U x0  时   g x h x A x x x x = = → → (2) lim ( ) lim ( ) 0 0 g(x)  f (x)  h(x) , f x A x x = → lim ( ) 0 ( x  X  0) (x → ) (x → ) (x → ) 且 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限．

例1.6.1设x。= n2+2 +++n 求lim n-→0 n.n .n 解：由于 <xn< n+nπ n+π 1 又lim =lim =1, n-→on2+n元 n-→0 π 1+ n 1 -1, n-→on+π 7n→00 π 1+ 由夹逼定理知 lim =1. n→00 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C④8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.6.1 解: 由于 又 由夹逼定理知

二、两个重要极限 I.lim sin x =1 x→0 X 证：当x∈(0，)时 △AOB的面积<圆扇形AOB的面积<△AOD的面积 即 asinx<tan x 故有 sin x cos x (0<x<) sinx 显然有 cosx<s1nx<1(0<x<〉 X sin x '.lim cosx =1. 注 lim =1 x→0 x→0 X BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 注 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 1 sin cos   x x x 圆扇形AOB的面积 二、 两个重要极限 证: 当 即 sin x  2 1 tan x 2 1  亦即 sin tan (0 ) 2 π x  x  x  x  (0, ) 2  π x 时， (0 ) 2 π 显然有  x  △AOB 的面积＜ ＜△AOD的面积 故有 注 注 O B A x 1 D C

例1.6.4求1im tan x x->0 X 解：lim tan x lim sinx x→0 x->0 xCOSX sinx lim .lim-1-=1 x→0X x→0COSX BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C①8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.6.4 求 解: x x x tan lim →0       = → x x x x cos sin 1 lim 0 x x x sin lim →0 = x cos x 1 lim →0  =1

1-cosx 例1.6.6求1im x→0 x2 解：原式= -月 0x2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C-①8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 2 0 sin lim     = x→ 2 x 2 x 2 1 例1.6.6 求 解: 原式 = 2 2 2 0 2sin lim x x x→ 2 1 2 1 = 

Ⅱ.1im(l+)'=e X→00 证：当x>0时，设n≤x0 1+ 1im+分)1=1im【+)P0+]=e n>o∞ lim(1+)'=e X>+00 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 Ⅱ. 证: 当 x  0 时, 设 n  x  n +1, 则 x x (1 ) 1 + 1 1 (1 ) +  + n n +  + n n (1 ) 1 1 n n n lim (1 ) 1 1 + → + lim → = n 1 1 1 (1 ) + + + n n 1 1 1 + + n = e 1 1 lim (1 ) + → + n n n lim[(1 ) 1 ] 1 n n（ 1 n ） n = + + → = e lim (1 ) e 1 + = →+ x x x

当x>0时，令x=-(t+1),则t→+0，从而有 1md+》=lm0-)0 t+00 =m品t切=m0+y =lim[1+'(1+】=e 故1im(+)=e X>0 说明：此极限也可写为lim(1+x)=e X0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 当 x = −(t +1), 则 从而有 ( 1) 1 1 lim (1 ) − + + →+ = − t t t ( 1) 1 lim ( ) − + + →+ = t t t t 1 1 lim (1 ) + →+ = + t t t lim [(1 ) (1 )] 1 1 t t t t = + + →+ = e 故 lim (1 ) e 1 + = → x x x 说明: 此极限也可写为 lim (1 ) e 1 0 + = → x x x 时, 令

例1.6.8求im(1-)4 X→00 解令1= 则当x→o时，t→0，于是 X 8 0-)=+)=m0+y X→00 =0+0] =e-8 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-C-①8 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例1.6.8 求 解: 令 , 2 x t = − 则当x→∞时，t→0，于是