北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第2章 导数与微分 5隐函数的导数

第二章 第5为 隐荔数的导教 隐函数的导数 二、 对数求导法 三、参数方程确定函数的导数 四、相关变化率 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

第5节 一、隐函数的导数 三、参数方程确定函数的导数 二、对数求导法 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数的导数 第二章 四、相关变化率

一、隐函数的导数 若由方程F(x,y)=0可确定y是x的函数，则称此 函数为隐函数 由y=f(x)表示的函数，称为显函数 例如，x+y3-5=0可确定显函数y=V5-x y°+2y-x-3x=0可确定y是x的函数 但此隐函数不能显化 隐函数求导方法：F(x,y)=0 两边对x求导 F(x,y)=0(含导数y的方程 dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

一、隐函数的导数 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导 (含导数 y  的方程) 目录 上页 下页 返回 结束

例2.5.2求曲线3y=2x+x4y在点(0,0处的切线方程 解：将曲线方程的两端对x求导，得 3y=2+4x3y3+3xy2y 将x=0,y=0代入上式得，3y=2, 解得，月行 2 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=。x. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

例2.5.2 求曲线 解: 将曲线方程的两端对 x 求导，得 将x＝0，y＝0代入上式得， 3 ' 2, 0 = x= y 在点(0,0)处的切线方程. 目录 上页 下页 返回 结束 解得， . 3 2 ' 0 = x= y 所以曲线在点(0,0)处的切线方程为

二、对数求导法 例2.5.4求y=x(x>0)的导数 解：两边取对数，化为隐式 m y=x.In x 两边对x求导 =nx+x- 即得y=(1+nx)y, X y'=(1+nx)x. BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

例2.5.4 求 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 y y  1 = ln x x x 1 +  即得y  =(1+ln x)y. 目录 上页 下页 返回 结束 二、对数求导法 (1 ln ) . x  y  = + x x

说明： 1)对幂指函数y='可用对数求导法求导 Iny=vInu =vlnu+4 y=u(+47) 注意： y'=u"Inu.v'+yu"-!.u 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

1) 对幂指函数 v y = u 可用对数求导法求导 : ln y = v lnu y y  1 = v lnu u u  v + ( ln ) u u v y u v u v   =  + y u u v v  = ln   vu u v +   −1 说明: 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 目录 上页 下页 返回 结束

2)有些显函数用对数求导法求导很方便 (a>0.5>08r1 两边取对数 Iny=xIn#+a[lnb-Inx]+b[Inx-Inal 两边对x求导 In y-8g-+ BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如, 两边取对数 ln y = 两边对 x 求导 =  y y b a ln x a − x b + + b a x ln a[lnb − ln x ]+b[ln x − ln a] 目录 上页 下页 返回 结束

叉如，y= (x-1)(x-2) V(x-3)(x-4) 两边取对数 (In u u Iny-[--2-In x-3-n4] 对x求导 (x-1(x-2) 2 (x-3(x-4到 3x-4 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

又如, ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y u u u  (ln ) =  2 1 ln y = 对 x 求导  2 1 =  y y   4 1 3 1 2 1 1 1 − − − − − + x − x x x 两边取对数 ln x −1 + ln x − 2 − ln x − 3 − ln x − 4  + −1 1 x 2 1 x − 3 1 − − x  4 1 − − x 目录 上页 下页 返回 结束

三、参数方程确定函数的导数 若参数方程 x=p(t) y =w(t) 可确定一个y与x之间的函数 关系，p(),w(t)可导，且[p'(t)]2+[w(t)]≠0，则 0'(t)≠0时，有 dy dy dt dy 1 w(t) dx dt dx _dt dx 0'(t) W(t)≠0时，有 dt dx dx dt dx 1 p'(1) dt dy dt dy w'(t) (此时看成x是y的函数 dt BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

三、参数方程确定函数的导数 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 可导, 且 则 (t)  0 时, 有 = x y d d x t t y d d d d  t t x y d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (t)  0 时, 有 = y x d d y t t x d d d d  t t y x d d 1 d d =  ( ) ( ) t t     = (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 目录 上页 下页 返回 结束

若上述参数方程中p(t),w(t)二阶可导，且p'(t)≠0， 则由它确定的函数y=f(x)可求二阶导数 x=p(t) 利用新的参数方程 d业-y@ 可得 d p'(t) d2y dx dx2 品 dt w"(t)o'(t)-w(t)o"(t) p2(t) ?(t) _Ψ"()0'()-Ψ(t)p"(t p3(t) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

若上述参数方程中 二阶可导, = 2 2 d d x y ) d d ( d d x y x = ( ) 2  t (t)(t)−(t)(t) (t) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 t t t t t         −   = ) d d ( d d x y t = t x d d ( ) ( ) d d t t x y     = x =(t) 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 利用新的参数方程 ,可得 目录 上页 下页 返回 结束

例2.5.6 已知斜抛物体运动的轨迹参数方程为 X=voc0SC·t y=%smx·t-3g12 求该物体在任意时刻速度的大小和方向 解：速度分量分别为 dx Vx= 三} dt Vo cosa ,Vy dy =vosin a-gt, v=+=v cos"a+(vosin a-gt)2. dy vosm a-gt tan o dy dt dx dx "o cos a dt BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

例2.5.6 已知斜抛物体运动的轨迹参数方程为 求该物体在任意时刻t速度的大小和方向. 解: 速度分量分别为: 目录 上页 下页 返回 结束