北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第3章 微分中值定理与导数的应用 3函数的单调性和曲线的凹凸性

第3节 第三章 离数的单调性和 曲线的凹马性 函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 函数的单调性和 曲线的凹凸性 第三章

函数单调性的判定法 定理1.设函数f(x)在开区间I内可导，若'(x)>0 (f'(x)0,x∈I,任取，x2∈I(x0 5∈(x1,x2)CI 故f(x)<f(x2这说明f(x)在I内单调递增 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、 函数单调性的判定法 定理 1. 设函数 若 ( f (x)  0), 则 在 I 内单调增加 (减少) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得  0 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕

例.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f"(x)=6x2-18x+12=6(x-1(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 X (-0,1) 1,2)2(2,+∞) f'(x) f(x) 2} y 故f(x)的单调增区间为(-0,1)，(2，+∞) f(x)的单调减区间为(1,2) 2 x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS e-0-0 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f  x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 O x y 1 2

说明： 1)单调区间的分界点除驻点外，也可是导数不存在的点 例如，y=x2,xe(-0,+0) 2 yy=Vx2 J'= 3 x=0=00 2)如果函数在某驻点两边导数同号， 则不改变函数的单调性 例如，y=x3,x∈(-0，+∞) X y'=3x2 y'x-0 0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 y O x 说明: 1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 3 2 y = x 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, y O x 3 y = x

例3.3.5证明0<x≤ 时，成立不等式sinx≥ 2x. 2 元 证：令f(x)= sin x 2 X 兀 则)在01上连续，在(0，上可导，且 证 f'(x)= x·coSx-Slnx COSX x-tanx)<0 因此/在(0，受内单调遇减。 tan x 又fx)在处左连续，因此/()≥f(?=0 s1nx、 从而 x∈(0,2 x 元 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 证明目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.3.5 证明 时, 成立不等式 证: 令 , π sin 2 ( ) = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x  −  = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x  0 从而 因此 且 证 证明

二、曲线的凹凸性与拐点 定义1.设函数f(x)在区间1上连续，x1,x2∈I, ()若恒有/)之 则称f(x)的 2 图形是凸的 拐点 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 A B 定义1 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 图形是凸的 . 二、曲线的凹凸性与拐点 y O x 2 x 1 x 2 1 2 x +x y O x 2 x 1 x 2 1 2 x +x 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . y O x 拐点

定理2.凹凸判定法)设函数f(x)在区间1上有二阶导数 (1)在I内"(x)>0,则f(x)在I内图形是凹的； (2)在I内f"(x)0时，中f2>f(5),说明(1)成 2 (2） 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理2.(凹凸判定法) (1) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ; (2) 在 I 内 则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . + − 证: 利用一阶泰勒公式可得 ( ) ( ) 1 f x = f  ( ) ( ) 2 f x = f  两式相加 2 2! 2 1 ( ) 2 1 x −x + [ ( ) ( )] 1  2 f  + f  当f (x)  0时, 说明 (1) 成立;   (2) 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 , 2 1 2 x +x 记 = + f ( ) ( ) x1 − + f ( )( ) x2 −  2 ! ( )  2 f  + 2 2 (x − ) 2 ! ( ) 1 f  + 2 1 (x −  ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 f x + f x = f  ( ), 2 ( ) ( ) 1 2 f f x f x  + 

例3.3.8判断曲线y=x的凹凸性 解：y'=3x2,y”=6x 所以，当x0时，y”=6x>0,曲线弧在 (-00 0]上为凹弧 点0,0)是曲线y=x由凸变凹的分界点，称为曲线 的拐点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.3.8 判断曲线 的凹凸性. 解: 3 , 2 y  = x 所以，当x0时，y″＝6x>0，曲线弧在 (－∞， 0]上为凹弧． 点(0,0)是曲线y＝x 3由凸变凹的分界点，称为曲线 的拐点．

说明： 1)若在某点二阶导数为0，在其两侧二阶导数不变号 则曲线的凹凸性不变 2)根据拐点的定义及上述定理可得拐点的判别法如下 若曲线y=f(x)在点xo连续，f"(x)=0或不存在， 但f”(x)在x两侧异号，则点(x,(x)是曲线 y=f(x)的一个拐点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 若在某点二阶导数为 0 , 2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下: 若曲线 或不存在, 但 f (x) 在 两侧异号, 0 x 则点 ( , ( )) 0 0 x f x 是曲线 的一个拐点. 则曲线的凹凸性不变 . 在其两侧二阶导数不变号

例3.3.9求曲线y=x-6x+12x2-10的凹凸区间及拐点 解：1)求y y=4x3-18x2+24x,y”=12x2-36x+24=12(x-10(x-2) 2)求拐点可疑点坐标 令y”=0得x1=1,x2=2,对应y=-3,2=6 3)列表判别 (-0,1) (1,2) 2 (2,+∞) + 凹 拐点 凸 拐点 凹 故该曲线在(-o,1]及[2，+∞)上为凹的，在[1,2]上 是凸的，点(1，-3)及(2,6)均为拐点 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页下页返回结束

目录 上页 下页 返回 结束 对应 y1 = −3 , y2 = 6 例3.3.9 求曲线 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 y  4 18 24 , 3 2 y  = x − x + x 2) 求拐点可疑点坐标 令 y  = 0 得 1, 2, x1 = x2 = 3) 列表判别 故该曲线在 (−,1] 及 [2, + ) 上为凹的, 是凸的 , 点 ( 1, -3 ) 及 (2,6) 均为拐点. 在[1, 2]上 (−,1) (1, 2) (2, + ) y  x y 1 2 + 0 0 拐点 拐点 − + 凹 凸 凹