北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第3章 微分中值定理与导数的应用 1微分中值定理

第1节 第三章 微分中值定理 一、 费马引理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、泰勒中值定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 上页 下页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第1节 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 微分中值定理 第三章 四、泰勒中值定理 一、费马引理

一、费马引理 之}一- 费马，P.de (或≥) 证：设Vx+△x∈U(xo),f(x0+△x)≤f(xo), 则f'(x,）)=lim f(x0+△x)-f(xo) X △x-→0 △x [f'(xo)≥0(Ax→0) →f'(xo）=0 f(x)≤0（△x→0*） 证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 费画 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 一、费马引理 ( ) , 在U x0 有定义 且 ( ) 0 f (x)  f (x0 ), f  x 存在 (或) ( ) 0 f  x0  证: 设 ( ), ( ) ( ), 0 0 0 0 x  xU x f x  x  f x 则 ( ) 0 f  x x f x x f x x        ( ) ( ) lim 0 0 0  ( 0 )   ( ) x 0 f x   ( 0 )   f (x0 ) x  0  0 ( ) 0 f  x0  y  f (x) 费马 证毕 x y O 0x

二、拉格朗日中值定理 定理1（罗尔定理 y=f(x) y=f(x)满足： (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 X (3)f(a)=f(b) >在(a,b)内至少存在一点5，使f'()=0 证：因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值 M和最小值m. 若M=m,则f(x)≡M,x∈[a,b], 因此V5∈(a,b),f'(5)=0 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 上负 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理1（罗尔定理） y  f (x) 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b )  , 使 f ( )  0. 证:因f (x)在[a , b]上连续，故在[ a , b ]上取得最大值 M 和最小值 m . 若 M = m , 则 f (x)  M , x[a , b], 因此 (a , b), f ( )  0 . 在( a , b ) 内至少存在一点  x y a b y  f (x) O 二、拉格朗日中值定理

若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等， 不妨设M≠f(a),则至少存在一点5∈(a,b),使 f(5)=M,则由费马引理得f'(5)=0. y=f(x) 注意： ☑ 1)定理条件不全具备时，结论不一定 ag 成立.例如 )= X, 0≤x<1 f(x)=x f(x)=x 0, x=1 x∈[-1,1] x∈[0,1] y 在[0,1]不连续 在(0,1)不可导 f(0)≠f(1) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 上 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 不妨设 M  f (a) , 则至少存在一点  (a,b), 使 f ( )  M , f ( )  0. 注意: 1) 定理条件不全具备时, 结论不一定 成立.        0, 1 , 0 1 ( ) x x x f x 则由费马引理得 [ 1,1] ( )    x f x x [0,1] ( )   x f x x 1 x y O 1 x y 1 O 1 x y O  x y a b y  f (x) O 在[0,1]不连续 在(0,1)不可导 f (0)  f (1) 例如

2)定理条件只是充分的.本定理可推广为 y=f(x)在(a,b)内可导，且 lim f(x)=lim f(x) x->a x->b 在(a,b)内至少存在一点5，使f'(5)=0 f(a), x=a 证明提示：设F(x)=了f(x), a<x<b f6)x=b 证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 使 2) 定理条件只是充分的. 本定理可推广为 y  f (x)在 ( a , b ) 内可导, 且    lim f (x) x a lim f (x) x b   在( a , b ) 内至少存在一点 , f ( )  0. 证明提示: 设 证 F(x) 在 [a , b] 上满足罗尔定理 . F(x)  f a x  a  ( ), f (x), a  x  b f b x  b  ( )

定理2（拉格朗日中值定理 y=f(x) y=∫(x)满足： =b)-a) b-a (1)在区间[a,b]上连续 (2)在区间(a,b)内可导 a E b x 至少存在一点5e(a,b),使f'(5)= f(b)-f(a) 证：问题转化为证 f"(5)- f(b)-f(a)=0 b-a b-a 作辅助函数 P(x)=f(x)-I(b)-f(a) b-a 显然，p(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且 gg陀 p(a) bf(a)-af)=o(b),由罗尔定理知至少存在一点 b-a 5∈(a,b),使p'(5)=0,即定理结论成立.证毕 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 拉因 日录 上页 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 定理2（拉格朗日中值定理）  ( ) (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 y  f (x) 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点  (a,b) , 使 . ( ) ( ) ( ) b a f b f a f      思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 作辅助函数 显然 , (x) 在[a, b] 上连续, 在(a, b)内可导, 且 证: 问题转化为证 (x)  f (x) x b a f b f a    ( ) ( ) (a) 由罗尔定理知至少存在一点  (a,b), 使( )  0, 即定理结论成立 . (b), b a b f a a f b    ( ) ( ) 拉氏 0 ( ) ( ) ( )      b a f b f a f  证毕 x y a b y  f (x) O  y x b a f b f a    ( ) ( )

拉格朗日中值定理的有限增量形式： 令a=x,b=x+△x,则 △y=f'(x+0△x)△x(0<0<1) 推论1若函数f(x)在区间I上满足f'(x)≡0，则f(x) 在I上必为常数 证：在1上任取两点x1,x2(x1<x2),在[x,x2]上用拉 格朗日中值公式，得 f(x2)-f(x,)=f'(5(x2-x)=0(x1<5<x2) f(x2)=f(x) 由x1,x2的任意性知，f(x)在I上为常数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 , ( , ) ( ) ( ) ( ) a b b a f b f a f        拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推论1 若函数 在区间 I 上满足 f (x)  0, 则 f (x) 在 I 上必为常数. f (x) 证: 在 I 上任取两点 , ( ), 1 2 1 2 x x x  x 在[x1 , x2 ]上用拉 格朗日中值公式 , 得 f (x2 )  f (x1 )  f ( )(x2  x1 )  0 ( ) 1 2 x    x ( ) ( ) 2 1  f x  f x 由 的任意性知, 1 2 x , x f (x)在 I 上为常数 . ( ) (0 1) y  f  x0  x x   , , 0 0 令 a  x b  x  x 则 

推论2如果在区间(a,b)内恒有 f(x)=g'(x),)=g(x)+C. 证：对任意 x∈(a,b),[f(x)-8(x)]'=f'(x)-8'(x)=0 由推论1知 f(x)-g(x)=C,f(x)=g(x)+C. 说明导函数相等的两个函数相差一个常数， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 推论2 如果在区间(a，b)内恒有 f ′(x)＝g′(x)，则f(x)＝g(x)＋C. 证: 对任意 x(a,b),[ f (x)  g(x)]'  f '(x)  g'(x)  0. 由推论1知 f (x)  g(x)  C, 即 f (x)  g(x) C. 说明导函数相等的两个函数相差一个常数

例3.1.4证明恒等式arcsin x+arccosx= 2 x∈[-1,1] 证：设f(x)=arcsinx+arccosx,则在(-l,1)上 f'(x)= 1-x21-x2 三 由推论可知 f(x)=arcsinx+arccosx=C(常数) 元 令x=0,得C= 2 又fe)=2 故所证等式在定义域[-1,1]上成立 经验：欲证x∈I时f(x)=Co,只需证在I上f'(x)≡0 且3x∈I,使f(x)=Co 自证：arctan x+arccotx=,x∈(-o,+o） BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.1.4 证明恒等式 , [ 1,1]. 2 π arcsin x  arccos x  x  证: 设 f (x)  arcsin x  arccos x , 则在(1,1)上 f (x)  由推论可知 f (x)  arcsin x  arccos x  C (常数) 令 x = 0 , 得 . 2 π C  又 , 2 π f (1)  故所证等式在定义域 [1,1]上成立. 自证: , x(,  ) 2 π arctan x  arc cot x  2 1 1 x 2 1 1 x   0 经验: 欲证 x I 时 ( ) , C0 f x  只需证在 I 上 f (x)  0, , 0 且  x  I ( ) . 0 C0 使 f x 

例3.1.5证明不等式 0) 1+x 证：设f(t)=ln(1+t),则f(t)在[0，x]上满足拉格朗日 中值定理条件，因此应有 f(x)-f(0)=f'(5)x-0),00) 1+x BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例3.1.5 证明不等式 证: 设 f (t)  ln(1 t) , 则 f (t)在[0, x]上满足拉格朗日 中值定理条件, 即 因为 故 ln(1 ) ( 0). 1      x x x x x f (x)  f (0)  ln(1 x) x x       , 0 1 1 x   x x 1  x ln(1 ) ( 0) 1      x x x x x f ( )(x  0), 0    x 因此应有