北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第5章 定积分 2定积分的基本性质

第五章 第2节 定积分的基本性质 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第2节 定积分的基本性质 第五章

(设所列定积分都存在) f()dx=-f(x)dx "f()dx=0 性质1 Jifs)±g]dr=心fc)r±gx)dx 证：左端=lim∑Lf(5,)±g(5)]Ax, 2→01 lim f(5,)Ax,±1m∑g(5,)△x,=右端 7→>0e1 2→0z1 性质2 f(x)dx=()dx (k是常数) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 (设所列定积分都存在)     a b b a f (x)dx f (x)dx ( )d  0  a a f x x k f x x k f x x b a b a ( )d ( )d   性质2  ( k 是常数)       b a b a b a 性质1 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 证: i i i n i   f  g x   lim [ ( ) ( )] 1 0    左端 i i n i i i n i   f x  g x     lim ( ) lim ( ) 1 0 1 0     = 右端

性质3 Jif)dr=ifcx)dr+fx)d 证：当a<c<b时， a 因f(x)在[a,b]上可积 所以在分割区间时，可以永远取c为分点，于是 ∑f(5)△x,=∑f(5)△x,+∑f(5,)△x; [a,b] [a,c] [c,b] 令2→0 [(d)+f()d BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 上 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束      b c c a b a 性质3 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 证: 当a  c  b时, 因f (x)在 [a,b] 上可积 , 所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是   [ , ] ( ) a b i i f  x     [ , ] ( ) a c i i f  x   [ , ] ( ) c b i i f  x 令  0   b a f (x)dx  c a f (x)dx   b c f (x)dx a c b

当a,b,c的相对位置任意时，例如a<b<C, 则有 [6fx)d=gfcx)d+jfx)dx f)dr=∫/cx)d-Jf)dr -()ds +()dx 性质4如果[a,b]止，(x)=1,则心dx=b-a BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 a b c 当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 a  b  c , 则有   c a f (x)dx  b a f (x)dx   c b f (x)dx   c a f (x)dx   b a f (x)dx   c b f (x)dx   c a f (x)dx   b c f (x)dx [a,b] f (x) 1, dx b a. b a    上 则 性质4 如果在

性质5如果在[a,b]上f(x)≥0，则f(x)dx≥0(a0i1 推论1如果在[a,b]上f(x)≥g(x),则 fx)dr≥∫gx)d(a<b) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 性质5 如果在 [a , b] 上 ( ) 0 1     i i n i  f  x 则 f (x)dx 0 (a b). b a    证: f (x)  0,   b a f (x)d x lim ( ) 0 1 0       i i n i f  x  推论1 如果在 [a , b] 上 f (x)  g(x), 则 f (x)dx g(x)dx (a b). b a b a    

推论2 ds(a< 证：-f(x)≤f(x)≤f(x)川 -fw)ld≤2f)d≤fx)d 即 d ds 性质6设M=maxf(x),m=minf(x),则 [a,b] [a,b] mb-a)≤∫f(x)dr≤M(b-a(a<b) BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 推论2 f x x b a ( )d  f x x b a ( ) d   证:   f (x)  f (x)  f (x) (a  b) f x x f x x f x x b a b a b a ( ) d ( )d ( ) d        即 f x x f x x b a b a ( )d ( ) d    性质6 设 max ( ), min ( ) , [ , ] [ , ] M f x m f x a b a b   则 m(b a) f (x)dx M (b a) b a      (a  b)

性质7（定积分中值定理） 若f(x)∈CLa,b],则至少存在一点5∈[a,b],使 ∫fx)dx=(5b-a) 证：设f(x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为m,M, 则由性质7可得 b-alOdrsM m 根据闭区间上连续函数介值定理，在[a,b]上至少存在一 点5∈[a,b],使 -afrds 因此定理成立， BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 性质7 (定积分中值定理) 若 f (x)C[a,b], 则至少存在一点  [a,b], 使 f (x)dx f ( )(b a) b a     证: 设 f (x)在[a,b]上的最小值与最大值分别为 m,M , 则由性质7 可得 f x x M b a m b a     ( )d 1 根据闭区间上连续函数介值定理,在[a,b]上至少存在一 点 [a,b], 使 f x x b a f b a ( )d 1 ( )     因此定理成立

说明： 积分中值定理对ab都成立 y=f(x) ∫fx)d 。可把 =f(5) b-a 理解为f(x)在[a,b]上的平均值.因 b x f()dx b-a m三n=m之》 b-an> i=1 n->oon 故它是有限个数的平均值概念的推广 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 O a b x y y  f (x) 说明: a  b或a  b都成立. • 可把 ( ) ( )d f  b a f x x b a    理解为 f (x)在[a,b]上的平均值. 故它是有限个数的平均值概念的推广.  • 积分中值定理对 b a f x x b a   ( )d 因 n b a f b a n i i n        lim ( ) 1 1  ( ) 1 lim 1     n i i n f n 

内容小结 1.定积分的基本性质 2.定积分中值定理 连续函数在区间上的平均值公式 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下负返回 结束

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