北京邮电大学出版社：21世纪高等学校规划教材《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第2章 导数与微分3复合函数的求导法则

第3节 第二章 复合岛数的求导法则 复合函数的求导法则 二、反函数的导数 三、基本求导公式和求导法则 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 第3节 二、反函数的导数 一、复合函数的求导法则 三、基本求导公式和求导法则 复合函数的求导法则 第二章

一、复合函数的求导法则 定理1u=p(x)在点x可导，y=f(u)在点u=p(x) 可导>复合函数y=f[p(x]在点x可导，且 dy=f'(u)9(x)= dy du d du dx 证：y=f(w)在点u可导，故1im A)f"(u) △u→0△u ∴.△y=f'(u)△u+a(△u)△u(当△u→0时a→0) 故有 品-fw*aw (△x≠0) △x dy lim =f'(u)0'(x〉 dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导,        lim x 0 x u u x u f u       ( ) ( ) x y x y x      0 lim d d 一、复合函数的求导法则 定理1 u  (x) y  f (u) 在点 u  (x) 可导 复合函数 y  f [(x)] 且 x u u y f u x x y d d d d ( ) '( ) d d      在点 x 可导, 证:  y  f (u) 在点 u 可导, 故 lim ( ) 0 f u u y u       y  f (u)u (u)u（当 u  0 时  0 ) 故有  f (u)'(x) u y    f (u)  ( ) ( ) (  0)           x x u u x u f u x y 

推广：此法则可推广到任意由有限个可导函数复 合而成的函数 例如，y=f(uw),u=p(v),v=(x) dy dy du dv dx du dv dx =f'(u)·p'(v)w(x) X 关键：搞清复合函数结构，由外向内逐层求导 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例如, y  f (u) , u  (v) , v (x)  x y d d  f (u) (v)(x) y u v x  u y d d  v u d d x v d d 关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导. 推广：此法则可推广到任意由有限个可导函数复 合而成的函数

例2.3.1设y=3sin5x,求y 解：y=3sinu,u=5x, dydy du 3cosu.5=15cosu =15cos5x. dx du dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 下返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例2.3.1 设 y  3sin 5x , 求 y' . 解: y  3sin u,u  5x; 3cos 5 15cos 15cos5 . d d d d d d ' u u x x u u y x y y       

例2.3.5设y=1-3x3,求y. 解：y=1-3y-0-3x=0-3x)0-3xy 0-3x)(9x）=- 3x2 /1-3x3)2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上负 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 例2.3.5 设 1 3 , 3 3 y   x 求 y' . 解: (1 3 ) (1 3 )' 3 1 ' ( 1 3 )' [(1 3 ) ]' 3 3 2 3 3 1 3 3 3 y   x   x   x  x  . (1 3 ) 3 (1 3 ) ( 9 ) 3 1 3 3 2 2 3 2 2 3 x x x x       

二、反函数的导数 定理2（反函数的求导法则 若单调连续函数x=p(y) 在点处可导，且p'(y)≠0，则它的反函数y=x)在 对应点x处可导，且有 f'(x)= 或 p'(y) d x dx 定理表明，反函数的导数等于直接函数导数的倒数 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 '( ) ( ) y f x  1   二、反函数的导数 . d d d d y x x y 1 或  定理2(反函数的求导法则) 若单调连续函数 在点y处可导，且 ，则它的反函数y＝f(x)在 对应点x处可导，且有 x ( y) '( y)  0 定理表明，反函数的导数等于直接函数导数的倒数．

例.求反三角函数的导数 解：设y=cm,则x=sny.ye-子》 . cosy>0,则 (arcsin x)= 1 (sin y)' cos y v1-sin2 y /1-x2 利用 元 (arccosx)=- arccosx= arcsin x 1-x2 2 类似可求得 (arctan x)'= 1+x2 arccotx)'=- 1+x2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 1  例. 求反三角函数的导数. 解: 设 y  arcsin x , 则 x  sin y , ) , 2 π , 2 π y ( (arcsin x) (sin y) cos y 1  y 2 1 sin 1   2 1 1 x  类似可求得 (arccos x)  ? , 1 1 (arctan ) 2 x x    2 1 1 (arccot ) x x     2 1 1 x  x arcsin x 2 π arccos   利用  cos y  0 , 则

小结： (aresin) （(arceos)=-万- (arctan x)= 3 1 (arccotx)=-1+x2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 自录上页 下负返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 ( arcsin x)  2 1 1 x ( arccos x)  2 1 1 x  ( arctan x)  2 1 1  x ( arc cot x)  2 1 1  x  小结:

三、基本求导公式和求导法则 1.常用初等函数的导数 (C)y=0 (x“)/=4x- (sinx)'=cosx (cosx)'=-sinx (tanx)'sec2 x (cotx)'=-csc2 x (secx)'= secxtan x (cscx)'=-cscxcot x (ax)'=axIna (e*)'=e* (loga x)'= xlna (Inx)'= (arcsinx)= (arccosx)'=- V1-x2 (arctan x)=x (arccotx)'=-1 +x2 BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 三、基本求导公式和求导法则 1. 常用初等函数的导数 (C)  0 ( )  x 1  x (sin x)  cos x (cos x)   sin x (tan x)  x 2 sec (cot x)  x 2  csc (sec x)  sec x tan x (csc x)   csc x cot x ( )  x a a a x ln (e )  x x e (loga x)  x ln a 1 (ln x)  x 1 (arcsin x)  2 1 1 x (arccos x)  2 1 1 x  (arctan x)  2 1 1  x (arccot x)  2 1 1  x 

2.函数和、差、积、商的求导法则 (u±v)'=W士v (Cu)'=C(C为常数) (uv)'u'v+uv' ()=四 (v≠0) 3.复合函数的求导法则 y=f(u),u=p(x) dy dy. dx du =f'(u）)p'(x) 4.反函数求导法则 @(r) 或 d x dx BEIJING UNIVERSITY OF POSTS AND TELECOMMUNICATIONS PRESS 目录上页 下页返回 结束

目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数和、差、积、商的求导法则 (u  v)  u   v  (Cu)  Cu  (uv)  u  v  uv      v u 2 v u  v  uv  ( C为常数 ) (v  0) 3. 复合函数的求导法则 y  f (u) , u  (x)  x y d d  f (u)(x) 4. 反函数求导法则 u y d d x u d d  '( ) ( ) y f x  1   . d d d d y x x y 1 或 