复旦大学：《概率论》精品课程教学资源（习题答案）2007年期末考试试卷（A卷）

复旦大学管理学院 2007-2008学年第一学期期末考试试卷 冈A卷□B卷 课程名称:概率论 课程代码:269.032.1 开课院系:管理学院 考试形式:闭卷 (本试卷答卷时间为120分钟,答案必须写在试卷上,做在草稿纸上无效) 共5页 姓名 学号 专业 成绩 题号 五总分 得分 装订线内不要答题 填充题(共30分,每空3分) A,B是两个随机事件,且P(A)=14,P(B)=2/7,P(A|B)=3/5,则 P(B A) 2.设随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布,且方差为a2>0。令Y ∑=1X,则Co(X1,Y) 3.设二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布N(0,0,1,4,r),若D(2X-Y)= 1,则 4.设随机变量X服从t(m)分布,则随机变量Y=X2服从_分布 5.设随机变量X只取正值,则E(k) 6.设事件A,B相互独立,且P(A)=0.8,P(B)=0.6,则P(A)P(B)- 0.60 7.设事件A,B满足:0Vm 10.设X是任意随机变量,且其方差DX有限,则P(|X-EX|> 共5页第1页

_ 装 订 线 内 不 要 答 题^ 复旦大学管理学院 2007—2008 学年第一学期期末考试试卷 √ A 卷 B 卷 课程名称：概率论 课程代码：269.032.1 开课院系：管理学院 考试形式：闭卷 （本试卷答卷时间为 120 分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效） 共 5 页 姓名 学号 专业 成绩 题号 一 二 三 四 五 总分 得分 一 填充题（共 30 分，每空 3 分） 1. A, B 是两个随机事件，且 P(A) = 1/4, P(B) = 2/7, P(A|B) = 3/5，则 P(B¯|A)= 。 2. 设随机变量 X1, X2, · · · , Xn 独立同分布，且方差为 σ 2 > 0。令 Y = 1 n Pn i=1 Xi，则 Cov(X1, Y ) = 。 3. 设二维随机向量 (X, Y ) 服从二维正态分布 N(0, 0, 1, 4, r)，若 D(2X −Y ) = 1，则 r = 。 4. 设随机变量 X 服从 t(m) 分布，则随机变量 Y = X2 服从 分布。 5. 设随机变量 X 只取正值，则 E( 1 X ) 1 EX。 6. 设事件 A, B 相互独立，且 P(A) = 0.8, P(B) = 0.6，则 P(A¯)P(B¯) − 0.6 0。 7. 设事件 A, B 满足：0 √ n) = 。 10. 设 X 是 任 意 随 机 变 量，且 其 方 差 DX 有 限，则 P(|X − EX| > 3 √ DX) ≤ 。 共 5 页 第 1 页

姓名 二(20分) 袋中有a个白球,b个黑球,从中有放回地取球n次。 (i)求恰好取到k(k≤n)个黑球的概率; (i)证明在n次取球中恰好取到偶数个白球(0个算偶数个)的概率为Pn [1+(1-a4)7 共5页第

姓名 学号 二 （20 分） 袋中有 a 个白球，b 个黑球，从中有放回地取球 n 次。 (i) 求恰好取到 k(k ≤ n) 个黑球的概率； (ii) 证明在 n 次取球中恰好取到偶数个白球（0 个算偶数个）的概率为 Pn = 1 2 [1 + (1 − 2a a+b ) n ]。 共 5 页 第 2 页

《概率论》2006.1.6 (20分) 随机向量x服从二元正态分布:X~N(0,0,a2,a2,p),A是一个2×2阶 矩阵,令Y=AX。 i)求随机向量Y的分布密度 (i)给出随机向量Y的两个分量相互独立的充分必要条件。 装订线内不要答题 共5页第3页

《概率论》2006.1.6 _ 装 订 线 内 不 要 答 题^ 三 （20 分） 设随机向量 X 服从二元正态分布：X ∼ N(0, 0, σ2 , σ2 , ρ)，A 是一个 2 × 2 阶 矩阵，令 Y = AX。 (i) 求随机向量 Y 的分布密度； (ii) 给出随机向量 Y 的两个分量相互独立的充分必要条件。 共 5 页 第 3 页

姓名 学号 四(10分)设X1,X2,X3是三个随机变量。试讨论:(1)X1,X2,X3两两不相 关;(2)D(a1X1+a2X2+a3X3)=(a1)2DK1+(a2)2DX2+(a3)2DX3之间的 关系,其中a1,a2,a3为三个任意常数。 共5页第4页

姓名 学号 四 （10 分）设 X1, X2, X3 是三个随机变量。试讨论：（1）X1, X2, X3 两两不相 关；（2）D(a1X1 + a2X2 + a3X3) = (a1) 2DX1 + (a2) 2DX2 + (a3) 2DX3 之间的 关系，其中 a1, a2, a3 为三个任意常数。 共 5 页 第 4 页

《概率论》2006.1.6 五(20分)设Xk,k=1,2,…是一相互独立的随机变量序列,且 P =k2)=2 P(Xk=-k°) k=1,2,……,-∞ (i)试证当s<是时,{X,k≥1}服从(弱)大数定律 i)问s在什么范围内取值时,{Xk,k≥1}满足中心极限定理,给出你认为最 好的s的范围。 装订线内不要答题 共5页第5页

《概率论》2006.1.6 _ 装 订 线 内 不 要 答 题^ 五 （20 分）设 Xk, k = 1, 2, · · · 是一相互独立的随机变量序列，且 P(Xk = k s ) = 1 2 , P(Xk = −k s ) = 1 2 , k = 1, 2, · · · , −∞ < s < ∞. (i) 试证当 s < 1 2 时，{Xk, k ≥ 1} 服从（弱）大数定律； (ii) 问 s 在什么范围内取值时，{Xk, k ≥ 1} 满足中心极限定理，给出你认为最 好的 s 的范围。 共 5 页 第 5 页