复旦大学：《概率论》精品课程教学资源（电子教案）第二章 条件概率与统计独立

③第二章条件概率与统计独立

❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ 1 ✶✓Ù ❫❻❱➬❺Ú❖Õá

条件概率的定义 定义:设(92,F,P)是一概率空间,B∈F 且P(B)>0,则对任意A∈F,定义: P(A B)=P(AB)/P(B) 称P(A|B)为在事件B发生条件下事件A发生的条件概率 Conditional Probability

❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ❫❻❱➬✛➼➶ ➼➶➭✗(Ω, F, P) ➫➌❱➬➌♠➜B ∈ F, ❹P(B) > 0 ➜❑é❄➾A ∈ F,➼➶➭ P(A | B) = P(AB)/P(B) →P(A | B)➃✸➥❻B✉✮❫❻❡➥❻A✉✮✛❫❻❱➬ ↔Conditional Probability↕

例子 10个产品中有7个正品、3个次品,从中不放回地抽取两个,已 知第一个取到次品,求第二个又取到次品的概率 解:设A={第一个取到次品} B={第二个取到次品} P(B|A)=P(BA)/P(A)=(1/15)/(3/10)=2/9

❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ⑦❢ 10❻✗➡➙❦7❻✔➡✦3❻❣➡➜❧➙Ø➌↔✴➘✒ü❻➜➤ ⑧✶➌❻✒✔❣➡➜➛✶✓❻q✒✔❣➡✛❱➬. ✮➭ ✗A = {✶➌❻✒✔❣➡}➜ B = {✶✓❻✒✔❣➡}➜ P(B | A) = P(BA)/P(A) = (1/15)/(3/10) = 2/9

例21.1 (P57例1) 在肝癌普查中发现,某地区的自然人群中,每十万人中平均 有40人患原发性肝癌,有34人甲胎球蛋白高含量,有32人同时发 生肝癌和甲胎球蛋白高含量。以事件C表示患发性肝癌,以事 件D表示患者甲胎球蛋白高含量。求P(C|D)及P(DC)

❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ⑦2.1.1 ↔P57⑦1↕ ✸❴❏✃✝➙✉②➜✱✴➠✛❣✱❁✰➙➜③➏✙❁➙➨þ ❦40❁❻✝✉✺❴❏➜❦34❁❵✍➙✞①♣➵þ➜❦32❁Ó➒✉ ✮❴❏Ú❵✍➙✞①♣➵þ✧➧➥❻C▲➠❻✉✺❴❏➜➧➥ ❻D▲➠❻ö❵✍➙✞①♣➵þ✧➛P(C|D)✾P(D|C)

2例21.2 项人口调查结果表明,深色眼睛的父亲和深色眼睛的儿子占 被调查者的5%,深色眼睛的父亲和浅色眼睛的儿子占7.9%,浅 色眼睛的父亲和深色眼睛的儿子占8.9%,浅色眼睛的父亲和浅 色眼睛的儿子占78.2%,问父子的眼睛深浅色有无联系?

❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ 2.⑦2.1.2 ➌➅❁➑◆✝✭❏▲➨➜✢Úú➠✛■❾Ú✢Úú➠✛✍❢Ó ✚◆✝ö✛5%➜✢Úú➠✛■❾Ú❢Úú➠✛✍❢Ó7.9%➜❢ Úú➠✛■❾Ú✢Úú➠✛✍❢Ó8.9%➜❢Úú➠✛■❾Ú❢ Úú➠✛✍❢Ó78.2%➜➥■❢✛ú➠✢❢Ú❦➹é❳➸

乘法公式及其应用 乘法公式:P(AB)=P(A)P(B|A) P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1) 2.1.3: (波利亚罐子模型)罐子中有b只黑球及r只红球,随机取出 只,把原球放回,并加入与抽出球颜色相同的球c只再摸第二 次,这样下去共摸了n次,问前面的η1次都出现黑球,而后 面n2=n-m1次都出现红球的概率是多少?

❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ➛④ú➟✾Ù❆❫ ➛④ú➟➭P(AB) = P(A)P(B | A) P(A1A2 . . . An) = P(A1)P(A2 | A1). . . P(An | A1A2 . . . An−1) ⑦2.1.3➭ ↔➴⑤æ✲❢✜✳↕✲❢➙❦b➄ç➙✾r➄ù➙➜➅➴✒Ñ➌ ➄➜r✝➙➌↔➜➾❭❭❺➘Ñ➙ôÚ❷Ó✛➙c➄✷➵✶✓ ❣➜ù✘❡✖✁➵✡n❣➜➥❝→✛n1❣ÑÑ②ç➙➜✌￾ →n2 = n − n1❣ÑÑ②ù➙✛❱➬➫õ✟➸

例2.1.4(结绳问题)将η根绳的2n个头任意两两相接,求事 件A={恰结成n个圈}的概率

❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ⑦2.1.4↔✭✲➥❑↕ òn❾✲✛2n❻Þ❄➾üü❷✚➜➛➥ ❻A = {❚✭↕n❻✗}✛❱➬✧

记B1={第次结成绳圈},则 A B i=1 P(B1)=2n(2 (2n)! P(Bk+1B1B)=2(n-k)-1 由求法公式 P(A)= 12(n-)-1=2n=1m

❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ PBi = {✶i❣✭↕✲✗} ➜❑ A = \n i=1 Bi P(B1) = 2n(2n − 2)! (2n)! = 1 2n − 1 P(Bk+1|B1 · · · Bk) = 1 2(n − k) − 1 ❞➛④ú➟ P(A) = nY−1 k=0 1 2(n − k) − 1 = 1 (2n − 1)!!

全概率公式 例2.1.5:设10件圈品中有3件不合格品,从中不放回地取两次, 每次一件,求取出的第二件为不合格品的概率。 全概率公式:若事件B1,B2, Bn是样本空间Ω的一组分 割,且P(B1)>0,则 P(A)=∑PAB)=∑P(B)P(A|B)

❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ✜❱➬ú➟ ⑦2.1.5: ✗10 ❻✗➡➙❦3 ❻ØÜ❶➡➜❧➙Ø➌↔✴✒ü❣➜ ③❣➌❻➜➛✒Ñ✛✶✓❻➃ØÜ❶➡✛❱➬✧ ✜❱➬ú➟➭ ❡➥❻B1, B2, . . . . . . , Bn➫✘✢➌♠Ω✛➌⑤➞ ⑧➜❹P(Bi) > 0,❑ P(A) = Xn i=1 P(ABi) = Xn i=1 P(Bi)P(A | Bi)

解例2.1.5 解:设A=“第一次取得不合格品”, B=“第二次取得不合格品”由全概率公式得 P(B)=P(A)P(B A)+P(A)P(B| A) (3/10)×(2/9)+(7/10)×(3/9)=3/10

❫❻❱➬❺Ú❖Õá ❫❻❱➬ ➥❻Õá ➪✟✛Õá✺ ✮⑦2.1.5 ✮➭ ✗A = ✴✶➌❣✒✚ØÜ❶➡✵➜ B = ✴✶✓❣✒✚ØÜ❶➡✵.❞✜❱➬ú➟✚➭ P(B) = P(A)P(B | A) + P(A¯)P(B | A¯) = (3/10) × (2/9) + (7/10) × (3/9) = 3/10