复旦大学：《概率论》精品课程教学资源（电子教案）第四章 数字特征和特征函数

第四章数字特征与特征函数 a数学期望 随机变量的方差与标准差 条件数学期望

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数字特征的引入背景 (1)实际问题的需要

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数字特征的引入背景 (1)实际问题的需要 (2)要完全得到分布有困难

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数字特征的引入背景 (1)实际问题的需要 (2)要完全得到分布有困难 (3)数字特征从某些侧面反映分布函数

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数学期望的定义 A.离散型随机变量

ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ê➷Ï✧✛➼➶ A. ❧Ñ✳➅➴❈þ ✗❧Ñ➅➴❈þX✛➞Ù✎➃ P(X = xn) = pn, n = 1, 2, . . . ❡❄ê P∞ i=1 xipiýé➶ñ➜❑→❚❄ê➃X✛ê➷Ï✧➜P➃ E(X) = X∞ i=1 xipi Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿

数学期望的定义 A.离散型随机变量 设离散随机交量X的分布列为 P(X=rn)=pn, n= 1, 2. 若级数∑1xP绝对收敛,则称该级数为X的数学期望,记为 E(X)=>ipi

ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ê➷Ï✧✛➼➶ A. ❧Ñ✳➅➴❈þ ✗❧Ñ➅➴❈þX✛➞Ù✎➃ P(X = xn) = pn, n = 1, 2, . . . ❡❄ê P∞ i=1 xipiýé➶ñ➜❑→❚❄ê➃X✛ê➷Ï✧➜P➃ E(X) = X∞ i=1 xipi Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿

例4.1.1 X~B(n,p),求E(X)

ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ⑦4.1.1 X ∼ B(n, p), ➛E(X) . ✮: E(X) = Xn k=0 kC k np k (1 − p) n−k = np Xn k=1 (n − 1)! (k − 1)!(n − k)! p k−1 (1 − p) (n−1)−(k−1) = np nX−1 k=0 C k n−1p k (1 − p) (n−1)−k = np ❆⑦ ❡Y ∼ B(1, p), ❑E(Y ) = p Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿

例4.1.1 X~B(n,p),求E(X) 解: E(X

ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ⑦4.1.1 X ∼ B(n, p), ➛E(X) . ✮: E(X) = Xn k=0 kC k np k (1 − p) n−k = np Xn k=1 (n − 1)! (k − 1)!(n − k)! p k−1 (1 − p) (n−1)−(k−1) = np nX−1 k=0 C k n−1p k (1 − p) (n−1)−k = np ❆⑦ ❡Y ∼ B(1, p), ❑E(Y ) = p Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿

例4.1.1 X~B(n,p),求E(X) 解: E(X kCnP(1-p)

ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ⑦4.1.1 X ∼ B(n, p), ➛E(X) . ✮: E(X) = Xn k=0 kCk np k (1 − p) n−k = np Xn k=1 (n − 1)! (k − 1)!(n − k)! p k−1 (1 − p) (n−1)−(k−1) = np nX−1 k=0 C k n−1p k (1 − p) (n−1)−k = np ❆⑦ ❡Y ∼ B(1, p), ❑E(Y ) = p Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿

例4.1.1 X~B(m,p),求E(X 解: E(X)= ∑ (n-1)! (k-1)!( (1-p)(n-1)-(k-1) k=1

ê✐❆✍❺❆✍➻ê ê➷Ï✧ ➅➴❈þ✛➄☛❺■❖☛ ❫❻ê➷Ï✧ ⑦4.1.1 X ∼ B(n, p), ➛E(X) . ✮: E(X) = Xn k=0 kCk np k (1 − p) n−k = npXn k=1 (n − 1)! (k − 1)!(n − k)!p k−1 (1 − p) (n−1)−(k−1) = np nX−1 k=0 C k n−1p k (1 − p) (n−1)−k = np ❆⑦ ❡Y ∼ B(1, p), ❑E(Y ) = p Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿