复旦大学：《概率论》精品课程教学资源（电子教案）第一章 概率论基础知识

概率论基础 张新生 Email:xizhang@fudan.edu.cn 复旦大学 May27,2011

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基本要求与成绩评定 1基本要求 概念、定理、例题、解题的基本技巧及应用基本理论 解决实际问题的能力: 课前预习、认真听课、课后复习、作业独立完成 2成绩评定:考勤:10%、作业:10%、期中:20%、期 未:60% 3参考书 《概率论基础及其应用》,王梓坤著,科学出版社,1976年 《数理统计引论》,陈希儒著,科学出版社,1981年版。 《概率论与数理统计》,李贤平、沈崇圣、陈子鹲编著,复 旦大学出版社。2003年版 《论及氨用计(,图

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研基对象与研基内容 研究对象:随机现象 研究内容:随机现象的数量规律性 ρ确定性现象-在一定条件下必然发生(出现)某一结果的现 象称为确定性现象 每天早晨太阳从东方升起; 水在标准大气压下加温到100°C沸腾 ρ随机现象-每次试验前不能预言出现什么结果,某一结果的 出现有一定的偶然性 掷一枚硬币,正面朝上?反面朝上? 某种型号电视机的寿命;

ï➘é➊❺ï➘❙◆ ï➘é➊➭➅➴②➊ ï➘❙◆➭➅➴②➊✛êþ✺➷✺ ✭➼✺②➊– ✸➌➼❫❻❡✼✱✉✮↔Ñ②↕✱➌✭❏✛② ➊→➃✭➼✺②➊✧ ③❯❅➎✔✓❧➚➄✱å; ❨✸■❖➀íØ❡❭➜✔1000C↔❈; ➅➴②➊– ③❣➪✟❝Ø❯ýóÑ②➓♦✭❏➜✱➌✭❏✛ Ñ②❦➌➼✛ó✱✺✧ ➉➌q▼✶➜✔→❾þ➸❻→❾þ➸ ✱➠✳Ò❃➚➴✛➷➲; Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿

随机现象的特点:1.结果不止一个;2.事先不知道哪一个会出 现 ρ随机事件的频率稳定性 频率:对于随机事件A,若在N次试验中出现了n次,则 称F(A)=n/N为事件A在N次试验中出现的频率。 ρ统计规律性:随机事件的频率常在某个固定的常数附近摆 概率:对于随机事件A,客观上有一个数表示了它在一次试 验中发生可能性的大小。概率就是频率的稳定值

➅➴②➊✛❆✿➭1. ✭❏Ø➂➌❻; 2. ➥❦Ø⑧✗❂➌❻➡Ñ ②. ➅➴➥❻✛➟➬➢➼✺➭ ➟➬➭é✉➅➴➥❻A➜❡✸N❣➪✟➙Ñ②✡n❣➜❑ →F(A)=n/N ➃➥❻A✸N❣➪✟➙Ñ②✛➟➬✧ Ú❖✺➷✺➭➅➴➥❻✛➟➬⑦✸✱❻✛➼✛⑦ê◆❈④ ➘✧ ❱➬➭é✉➅➴➥❻A➜➄✯þ❦➌❻ê▲➠✡➜✸➌❣➪ ✟➙✉✮➀❯✺✛➀✂✧❱➬Ò➫➟➬✛➢➼❾✧ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿

几个例子 例1:(生日问题)众所周知,如果有366个人则必定至少有 两个人的生日在同一天。考虑如下问题:假设 有n(n<366)个人,问这n个人中至少有两个人的生日在同 天的可能性是多少? 例2:一池塘中有鱼若干条,采用何种方法可以快捷的估算 出鱼的数目? 例3:在信封A与B内装有一定数量的人民币,已知其中之 的钱数是另外钱数的两倍。你随机的抽取一个信封,比如 是A,现在给你一次调换的机会,问你换还是不换?

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几个例子 ●例4(玛丽莲问题 The Monty Hall Problem):在三扇门后面分 别藏有两只羊和一辆轿车。参与游戏的参与者可以先按自己 的意愿选择一扇门,而游戏的操纵者则打开另外两扇门中的 扇门发现有羊,此时游戏的参与者还有一次重新选择的机 会,即可以选择另外一扇未被打开的门。问游戏的参与者应 该不应该重新选择?为什么? 例5:(血液检查中的经济学问题):二战期间,必须征募 很多人到部队,要检查申请者中某种罕见的疾病需要对每个 人进行血液检查,如何保证”有问题的”会被查出,而检验 次数尽可能的少? ρ例6:(敏感性问题的调查)如何设计一种调查方法,使被 调查者正确回答被调查的敏感问题?(如你是否是HV的病 毒携带者等问题)

❆❻⑦❢ ⑦4(ç✇ê➥❑The Monty Hall Problem)➭✸♥÷⑨￾→➞ ❖õ❦ü➄✑Ú➌ý✕➄✧ë❺✐❩✛ë❺ö➀➧❦❯❣❈ ✛➾✑➚❏➌÷⑨➜✌✐❩✛ö♣ö❑❿♠✱✠ü÷⑨➙✛ ➌÷⑨✉②❦✑➜❞➒✐❩✛ë❺ö❸❦➌❣➢★➚❏✛➴ ➡➜❂➀➧➚❏✱✠➌÷➍✚❿♠✛⑨✧➥✐❩✛ë❺ö❆ ❚Ø❆❚➢★➚❏➸➃➓♦➸ ⑦5➭↔➱➋✉✝➙✛➨▲➷➥❑↕➭✓ÔÏ♠➜✼▲✍✺ éõ❁✔Üè➜❻✉✝✙➒ö➙✱➠➽❸✛❀➽■❻é③❻ ❁❄✶➱➋✉✝➜❳Û✂②✵❦➥❑✛✵➡✚✝Ñ➜✌✉✟ ❣ê➛➀❯✛✟➸ ⑦6➭↔➥❛✺➥❑✛◆✝↕❳Û✗❖➌➠◆✝➄④➜➛✚ ◆✝ö✔✭↔❽✚◆✝✛➥❛➥❑➸↔❳❭➫➘➫HIV✛➽ Ó✏➅ö✤➥❑↕✧ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿

几个例子 例7:机票的超售问题。一架有N座的飞机,如预售N张 票,到起飞时如有顾客因故不能到来,则会留下空的座位而 影响航空公司的收入。解决问题的办法是预售C(>N)张 票,问题是如何确定C。 例8:上海市餐饮业发票抽奖问题

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概率论的发展简史 ρ概率的概念起源于中世纪以来的欧洲流行的用骰子赌博 般把1654年作为概率不诞生的时间。在这个概率不的草创阶 段,最重要的里程碑是伯努利的著作《推测术》。 早期对概率不作出重要贡献的科学家有伯努利、拉普拉斯 ( Laplace)、泊松( Poisson)和高斯( Gauss)。 1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫( Kolmogorov)完成了概率 不的公理体系,使概率不与数理统计成为数学的一个分支 概率论的概念和方法是数理统计学的理论基 础

❱➬Ø✛✉Ð④↕ ❱➬✛❱❣å✌✉➙➢❱➧✺✛î➩✻✶✛❫✍❢Ù➷➜➌ ❸r1654❝❾➃❱➬Ø✆✮✛➒♠✧✸ù❻❱➬Ø✛ú▼✣ ã➜⑩➢❻✛♣➜✌➫❐ã⑤✛❮❾✺íÿâ✻✧ ❅Ïé❱➬Ø❾Ñ➢❻￾③✛❽➷❬❦❐ã⑤✦✳✃✳❞ ↔Laplace↕✦Ñt↔Poisson↕Ú♣❞↔Gauss↕✧ 1933❝⑨éê➷❬❹✏★①â➴↔Kolmogorov↕✑↕✡❱➬ Ø✛ú♥◆❳➜➛❱➬Ø❺ê♥Ú❖↕➃ê➷✛➌❻➞⑤✧ ❱➬Ø✛❱❣Ú➄④➫ê♥Ú❖➷✛♥Ø➘ ✿ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿

论中几个重要的研究领域 极限定理( Limit Theorem)、大偏差( Large Deviation)、 Markov过程、鞅( Martingale)、随机分析 ( Stochastic Analysis)、数理金融( Mathematics finance)、时 间序列( Time series):(ARMA模型、ARCH模型、 GARCH模

✽❝❱➬Ø➙❆❻➢❻✛ï➘✰➁➭ ✹⑩➼♥↔Limit Theorem)✦➀➔☛(Large Deviation↕✦Markov▲➜✦☎(Martingale)✦➅➴➞Û ↔Stochastic Analysis↕✦ê♥✼❑↔Mathematics Finance↕✦➒ ♠❙✎↔Time Series↕➭↔ARMA✜✳✦ARCH✜✳✦GARCH✜ ✳↕ Ü ★ ✮ ❱➬Ø➘✿

概率论与数理统计的应用 概率统计理论与方法的应用儿乎遍及所有科学技术领域、工农业 生产和国民经济的各个部门中。目前最热门的两个领域: °金融数据分何 生命科学中的数据分何

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