《轧钢工艺学》课程授课教案（轧制原理讲义）第六章 平均单位压力

第六章平均单位压力计算模型由于轧制压力p的计算需用平均单位压力p，即p=F，其中F是水平投影面积，F=B1=(B+b)/2./R·△h。本章将建立大量实用的用于计算平均单位压力的数学模型，模型的推导需用到第五章得到的单位压力p的分布函数式。6.1采利柯夫平均单位压力计算式以采利柯夫的无张力单位压力p的分布函数式为例：K后滑区：P=(8-1)·G)8+1hK.[(6 +1) (X)8-1前滑区：PhLR其中，o-2.1f_2f.Rh2D2fAhhNAhh6.1.1求轧制压力P根据轧制压力的定义，P可由下式求得：(1)P=]"B·p,(x)·dx+J"B·ph(x).dx其中p(x)、P(x)分别是前滑区和后滑区的单位压力分布函数式。只需将采利柯夫单位压力p的分布函数式代入（1）式积分即可求得。积分时需作变量代换，即将变量h.变换成x，根据采利柯夫以弦代弧的假定：Ah.hx+V212则由y=，有2Ahh=.x+h1写成微分关系：65

65 第六章 平均单位压力计算模型 由于轧制压力 P 的计算需用平均单位压力 p ，即 P = pF ，其中 F 是水平投影面积， F = Bl = (B + b) 2  R h 。本章将建立大量实用的用 于计算平均单位压力的数学模型，模型的推导需用到第五章得到的单 位压力 p 的分布函数式。 6.1 采利柯夫平均单位压力计算式 以采利柯夫的无张力单位压力 p 的分布函数式为例： 后滑区： ( )       =  −1 ( ) +1    x H h K H p 前滑区： ( )       =  +1 ( ) −1    h K h p x h 其中， h D f h R f h f R h h l f  =   =     =   2 2 2 2 ＝ 6.1.1 求轧制压力 P 根据轧制压力的定义， P 可由下式求得： P B p x dx B p x dx h H   +        ( ) ( ) 0 ＝ （1） 其中 p (x) p (x) h 、 H 分别是前滑区和后滑区的单位压力分布函数式。 只需将采利柯夫单位压力 p 的分布函数式代入（1）式积分即可求 得。积分时需作变量代换，即将变量 x h 变换成 x ，根据采利柯夫以弦 代弧的假定： 2 2 h x l h y  +  = ， 则由 2 hx y = ，有 x h l h hx  +  = 写成微分关系：

h.dx,1dh, =dx =dh,1Ah将这些关系都代入（1）式：P=BLK["[s -1)(H/h. )° +1lih, + [" [(s + 1)(h. /h)° -1lhAhs将此式积分后，整理：P=BK.h,[H/h, +(n, /h) -2](2)Ah（2）式中的H/h,和h,/h为未知，但根据中性面上h，=h,时，必有Ph=PH，则可推出：()--[6+()-2]代入（2）式，轧制压力为：B2lh,P= h(6-1) K-]4-而其中的h，/h在第五章已推出：[1+ /1+(82 - 1) (H / h)°Mh8+1平均单位压力P的采利柯夫计算模型与图表6.1.2P2Kh前-()[D=P=k.2.(I-s))[() -- (6.)%-6.(8-1):n。= P/K = f(8,s)为方便实际应用，有人根据上式作出了n。=f(s,s)的曲线图，即由某道次的8、s之值，可在曲线图上查得n。，从而求得万。详见教材p48。66

66 x dhx h l dx dx l h dh    =  = , 将这些关系都代入（1）式： ( )( )  ( )( )         − + + + −    x h h x x H h H hx dh h h dh K h l P B        ＝ 1 1 1 1 将此式积分后，整理：  ( ) + ( ) − 2        h H h h h K h l P＝B （2） （2）式中的 H h 和 h h 为未知，但根据中性面上 hx = h 时，必有 ph = pH，则可推出： ( )         −         + − =         1 2 1 1       h h h H 代入（2）式，轧制压力为： ( )         −           − = 1 1 2     h h K h B lh P 而其中的 h h  在第五章已推出：      1 2 1 1 1 ( 1) ( )         + + + −  = H h h h 6.1.2 平均单位压力 p 的采利柯夫计算模型与图表 ( )         −                    − =  = 1 1 2     h h h h h Kh B l P p ( ) 1 ( , ) 1 2 (1 )         K f h h h h p K =          −                    −  − =  ( , )  n = P K = f 为方便实际应用，有人根据上式作出了 (  )  n = f , 的曲线图，即 由某道次的  、 之值，可在曲线图上查得  n ，从而求得 p 。详见教 材p48

Sims平均单位压力计算模型6.26.2.1求轧制压力根据Sims单位压力p的分布函数式：后滑区：RRP=.nho+#+- arctan(/R/h .0)/R/h:arctanK-4VhH4h前滑区：RP=".nho+"+R/h.0)-arctan(K-4mh4Vh将该二式代入下式：P=I, p,(x)·dx+ [" Pr(x)-dx并注意到，作用在弧段R·do上的压力为：p·(R·do)，如图1所示。dx=Rde.coso，则上式可写成P='p,Rdo.cosO+ "phRdo.coso因coso~1，则P='p,Rd0+"pRdo(3)注意，此式中轧件的平均宽度B=1。这样处理的目的是为了推导简便，并不影响后面的计算。将前，后滑区的单位压力函数式均代入（3）中，积分后得元h-元α-n%+m(4)P= R.K·arctan2'VR'Vi-84h2h其中h,可利用求得：h,=h+D.(1-cosy)67

67 6.2 Sims平均单位压力计算模型 6.2.1 求轧制压力 根据Sims单位压力 p 的分布函数式： 后滑区： ( ) (  )    =  + +   −  R h  h R R h h R H h K pH arctan arctan 4 ln 4 前滑区： (  )    =  + +  R h  h R h h K ph arctan 4 ln 4 将该二式代入下式： P p x dx p x dx h H  +       ( ) ( ) 0 ＝ 并注意到，作用在弧段 R d 上的压力为： p (R  d) ，如图１所示。 dx = Rd  cos ，则上 式可写成        cos cos 0  +    P＝ phRd pH Rd 因 cos 1 ，则   +    P phRd pH Rd 0 ＝ （3） 注意，此式中轧件的平均宽度 B =1。这样处理的目的是为了推导 简便，并不影响后面的计算。 将前，后滑区的单位压力函数式均代入（3）中，积分后得       −  − + − =    h H h h R h P R K ln 2 1 ln 1 4 arctan 2       （4） 其中  h 可利用  求得： (1 cos ) h = h + D  −

6.2.2平均单位压力P的Sims模型PPP=B.L-1-lMR.K「元ThH6个1h-In(5)arctanInα-JR.Ah2VRhN1-84h2= K-f(R/h,s)其中B.n1-61-86元元f(R/h,c)--arctanVh'1-6426C(6)R1[1-81 In2V6VhVi-8由(5)式推出(6)式的过程如下：(5)式中的第一项：hRVRVR.AhhhRH+h-HH-81VR·AhVRVAhhVAh6(5)式中的第二项：R元:aJR·Ah4将α解出即可．因I~R·α(以弦代弧)，则α为：hVR.Ah=RVR将其代入，则RRAh_元元元Q:VR44JR.Ah4JR.h(5)式中的第三项：台R.InhVRAhhyRhyAhyR11in. InInVh1VhhhJR.hJAh/hV(-)/e冬Re.InVh1hS(5)式中的第四项：68

68 6.2.2 平均单位压力 p 的Sims模型 (  )       , ln 2 1 ln 1 4 arctan 2 1 K f R h h H h h R h R h R K l P B l P p =        −  − + −      =  =  = （5） 其中 ( )              −   − +   − − − −  − =  1 1 ln 1 2 1 ln 1 1 4 arctan 1 2 , h R h h h R f R h （6） 由(5)式推出(6)式的过程如下： (5)式中的第一项: R h R h R      − − = − =  =  + − =   =  1 1 1 1 h H h H h H h h R h R h R (5)式中的第二项：     R  h 4 R 将  解出即可．因 l  R (以弦代弧)， 则  为： R h R R h  =  ＝ 将其代入，则 4 4 4     =        =   R h R h R R h R (5)式中的第三项： h h R h R  ln  h h h R h h h R h h h R h h h h R h R         ln 1 ln (1 ) 1 ln 1 ln   − =   −   =   =  (5)式中的第四项：

RInHInNVR.Ah 2R1HRRH11111-81.n- Inin2VVhVhh2 /h/h61-8VR.Ah 2其中H1=nInh1-8应力状态影响系数n。6.2.3R卫_(7)n。==KCh由于Sims的p计算式求解很烦，故有人作出了（7）的曲线图，根据该图（详见P298）。对某道次，首先算出R/h和s，然后从图上查出应力状态影响系数n.之值，从而可得。Sims式的简化式6.2.41.志田茂式志田茂在实验的基础上.对复杂的Sims式进行了大刀阔斧的修正和改造：ng=0.8+(0.45+0.04)-(/R/H0.5)后来他根据沃克维特和他自已的实测数据，又将上式修正为：n。=0.8+c-(/R/H-0.5)其中c按下式计算：当≤0.15,c=0.052//+0.016当>0.15c=0.2+0.12对厚件轧制的情况，即/h较小时，上式还需补充一项，为R-0.5) (3+/)n=0.8+c.(Vh3+1/h2.五弓，斋藤式：69

69 h H R h R ln 2 1      −   −   =   =  1 1 ln 1 2 1 ln 1 2 1 ln 2 1 h R h H h R h h h H R h R 其中 −  = 1 1 ln ln h H 6.2.3 应力状态影响系数  n       = =   , h R f K p n （7） 由于Sims的 p 计算式求解很烦，故有人作出了（7）的曲线图，根 据该图（详见P298）。对某道次，首先算出 R/ h 和  ，然后从图上查 出应力状态影响系数  n 之值，从而 p 可得。 6.2.4 Sims式的简化式 1．志田茂式 志田茂在实验的基础上,对复杂的Sims式进行了大刀阔斧的修正和 改造： n = 0.8+ (0.45 + 0.04)( R H − 0.5)  后来他根据沃克维特和他自己的实测数据，又将上式修正为： n = 0.8 + c ( R H − 0.5)  其中 c 按下式计算： 当   0.15, c = 0.052  + 0.016 当   0.15, c = 0.2 + 0.12 对厚件轧制的情况，即 l h 较小时，上式还需补充一项，为 ) 3 3 0.8 ( 0.5) ( l h h l h R n c + + = +  −   2．五弓，斋藤式：

五弓和斋藤认为，对Sims式还可进一步简化。经实验，在Sims式中所包含的各参数中，最重要的是1/h，从而提出如下的计算模型：n。=0.6+0.3-1/h+0.25.h/l,1/h>0.35naK1+0.14.5,1P=1.6-1.5≤0.35n.h1Kh该式仅适于轧制厚件，即1/h<1.0的情形。6.3Ekelund平均单位压力计算式此式是Ekelund在整理实验数据的基础上，经回归分析得到的，故也称半经验式：p=(1+m).( +n·)式中，m=16.VR-AMh-12Ah，主要反应外摩擦对p的影响。H+hf = a·(1.05 - 0.0005T)对钢辊：α=0.8，对铸铁辊：a=1.0n=0.1(14-0.01T).cMpa,为粘度系数，T是温度（℃）。其中c是与轧制速度有关的系数：取法见《工艺》P74，《原理》301。_ 2v.Ah/RH+h为平均变形速度（是轧辊的线速度）。70

70 五弓和斋藤认为，对Sims式还可进一步简化。经实验，在Sims式 中所包含的各参数中，最重要的是 l h ，从而提出如下的计算模型： 0.6 0.3 , 1 0.6 0.3 0.25 , 1 = +   = +  +   n l h l h n l h h l l h   3．适合轧制厚件的计算模型： 利用Karman方程和Orowan方程，从不同的假设条件出发，所推 出的各种平均单位压力的计算模型，基本未对轧件外端的影响予以考 虑，然而对厚件轧制，外端的影响是主要的（外摩擦的影响甚至可以 忽略），对这样的轧制过程，可采用滑移线理论中得到的模型： 1.6 1.5 0.14 , 0.35 0.14 0.43 0.43 , 1.0 0.35 = = −  +   = = +  +    h l l h h l K p n h l l h h l K p n   该式仅适于轧制厚件，即 l h 1.0 的情形。 6.3 Ekelund平均单位压力计算式 此式是Ekelund在整理实验数据的基础上，经回归分析得到的，故 也称半经验式： ( ) (   ) p = 1+ m  K +  式中， H h f R h h m +    −  = 1.6 1.2 ，主要反应外摩擦对 p 的影响。 f = a (1.05−0.0005T) 对钢辊： a = 0.8，对铸铁辊： a =1.0  = 0.1(14 − 0.01T) c  Mpa， 为粘度系数，T 是温度（℃）。其中 c  是与轧制速度有关的系数：取 法见《工艺》P74，《原理》301。 H h v h R +   = 2   ， 为平均变形速度（ v 是轧辊的线速度）

K = 9.8(14-0.01T)(1.4+C+Mn +0.3Cr) Mpa使用条件：①热轧状态：T>800℃；②轧件：低碳钢③轧制速度：v<20(m/s）在Φ500轧机上用此式计算近似较好（比采利柯夫好）6.4轧辊弹性压扁时P的计算若不考虑轧辊的弹性压扁时，变形区长度为：1=/R·Ah；但由于冷变形时，轧制压力大，轧辊产生弹性压扁，此时的变形区长度1=？6.4.1对弹性压扁问题的分析图1如图1所示，因存在弹性压扁和轧件的弹性压缩，致使该道轧制没有达到预期所需要的出口厚度h，实际出口厚是h，二者的差值h-h=A,+A，其中：A是轧辊的弹性压扁值，若不考虑A，则轧辊应处在B,的位置，若同时也不考虑，则轧后为所预期的h。A，是轧件的弹性压缩值，由于A，的存在，使轧件的出口厚度增71

71 K = 9.8(14 − 0.01T)(1.4 + C + Mn + 0.3Cr) Mpa 使用条件： ①热轧状态：T>800℃； ②轧件：低碳钢 ③轧制速度： v <20(m/s) ④在Φ500轧机上用此式计算近似较好（比采利柯夫好） 6.4 轧辊弹性压扁时 P 的计算 若不考虑轧辊的弹性压扁时，变形区长度为： l = Rh ；但由于 冷变形时，轧制压力大，轧辊产生弹性压扁，此时的变形区长度 l = ? 6.4.1 对弹性压扁问题的分析 图1 如图1所示，因存在弹性压扁和轧件的弹性压缩，致使该道轧制 没有达到预期所需要的出口厚度 h ，实际出口厚是 1 h ，二者的差值 h1 − h = 1 + 2 ，其中： 1 是轧辊的弹性压扁值，若不考虑 1 ，则轧辊应处在 B2 的位置， 若同时也不考虑，则轧后为所预期的 h。 2 是轧件的弹性压缩值，由于 2 的存在，使轧件的出口厚度增

大，如图所示。A,和在实际的冷轧生产中必然存在，这导致变形区的长度由1变为，前已述及，"是计算轧制力的重要参数，故该值的正确确定十分重要。6.4.21的计算如图所示，考虑有△和^，时，变形区长度为I'=x +X=R2 -(R-B,D) +R2-(R-B,B,)其中，B,D=Ah/2+A,+A,;B,B,=A, +△2(8)I'~/2R.(Ah/2+A, +A,)+ /2R(A, +A,)=/R·Ah+x +x2可见，若x，=0，则"=1=R·△h，x,￥0，只需确定x，故需先确定△，和，，这里将用到《弹性力学》的结果。如图2所示，I的弹性量：4, = 2p. 1-v2元E,IⅡI的弹性量：42 =2P.1-V2元E2其中，P=2ap=2x·P，即将a看作x2，将I和IⅡI看作轧辊和轧件，则图21-v21-v2R4X, = /2R·(A, +△,) =4x+4x2.p.r元E,元E，(1-v21-v28R.X21元E,元E,平方后，解出x2(1-1-2X2 =8R-元E，元E，若不考虑轧件的弹性变形，则上式为72

72 大，如图所示。 1 和 2 在实际的冷轧生产中必然存在，这导致变形区的长度由 l 变为 l ，前已述及，l 是计算轧制力的重要参数，故该值的正确确定 十分重要。 6.4.2 l 的计算 如图所示，考虑有 1 和 2 时，变形区长度为 l＝ 1 2 x + x = ( ) ( ) 2 1 3 2 2 3 2 R − R − B D + R − R − B B 其中， B3D = h 2 + 1 + 2 ； B1B3 = 1 + 2 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 2 1 + 2 l  R  h +  +  + R  = 2 2 2 Rh + x + x （8） 可见，若 x2 = 0，则 l = l = Rh ， x2  0 ，只需确定 2 x ，故需先确 定 1 和 2 ，这里将用到《弹性力学》的结果。如图2所示， Ⅰ的弹性量： 1 2 1 1 1 2 E P  −  =  Ⅱ的弹性量： 2 2 2 2 1 2 E P  −  =  其中， P = 2a  p = 2x2  p ，即将ａ看作 2 x ，将Ⅰ和Ⅱ看作轧辊和轧件，则 图 2         − + − =           − +   − =   +  =   2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 8 1 4 1 2 ( ) 2 4 E v E v R x p E v x p E v x R R x p     平方后，解出 2 x         − + − =  2 2 2 1 2 1 2 1 1 8 E v E v x R p   若不考虑轧件的弹性变形，则上式为 Ⅰ Ⅱ Δ Δ

1-2-V8R·PX,=8R.pC·R·p元E元E,其中，p为平均单位压力，u和E为轧辊的波松比和弹性模量。8(1-v2)0元·E所以轧辊压扁后的变形区弧长为(9)I'=R.Ah+x +x,=/R.Ah+(cRp)°+cRp这就是采利柯夫压扁弧长的计算式。根据变形区弧长的定义，压扁后其值可由下式计算(10)I'=VR'.Ah其中R'为压扁后的轧辊半径。可见若能得到R，则"易求得。现求R':将平均单位压力p=P/I"代入(9)式，并与(10)式联立，有"=R-Ah.1"2 +(cRP)+ cRP(11)11该式可写成R".Sh= R.Ah”-R'+c"R"p?CRPR'-AhR-Ah即R'-h=R.h?.R'+cR'p?+cRP将cRP移到等式左边并平方得(R-h-cRP)?=R.Ah?.R'+c2R2p2将左边展开整理得R'-Ah-2cRP = R:Ah(12)R/R=1+2cP/△h该式称为Hitchcock式（西奇库克）。计算时需用迭代法，步骤如下:1.首先计算不考虑弹性压扁时的轧制压力P=·B·P；2.根据p求出"，利用(11)式；3.再由I'计算P:P=I·B·；4.根据P,求出}，利用(11)式；73

73 c R p E v R p E v x R p =   − =   − =     2 2 2 2 2 1 8 1 8 其中， p 为平均单位压力， 和E 为轧辊的波松比和弹性模量。 E v c  − =  8(1 ) 2 所以轧辊压扁后的变形区弧长为 l = Rh + x + x = Rh + (cRp) + cRp 2 2 2 2 （9） 这就是采利柯夫压扁弧长的计算式。根据变形区弧长的定义，压 扁后其值可由下式计算 l = R h （10） 其中 R 为压扁后的轧辊半径。可见若能得到 R ，则 l 易求得。现求 R ： 将平均单位压力 p = P l 代入(9)式，并与(10)式联立，有 ( ) l cRP l R h l cRP l  +      +  = 2 2 （11） 该式可写成 R h cRP R h R h R c R P R h  +     +  = 2 2 2 2 即 R h = Rh  R + c R P + cRP 2 2 2 2 将 cRP 移到等式左边并平方得 2 2 2 2 2 (R h − cRP) = Rh  R + c R P 将左边展开整理得 R h − 2cRP = Rh R R =1+ 2cP h （12） 该式称为Hitchcock式（西奇库克）。计算时需用迭代法，步骤如 下： 1．首先计算不考虑弹性压扁时的轧制压力 P1 = l  B p ； 2．根据 P1 求出 1 l，利用(11)式； 3．再由 1 l 计算 P2 ： P2 = l 1   B  p ； 4．根据 P2 求出 2 l，利用(11)式；

5.比较与△=-，当很小时计算停止。一般令△=10-4即可。当材料的变形抗力大导致轧制压力P较大时，或对产品精度要求较高时，如冷轧薄板，轧辊和轧件的弹性变形所引起的变形区长度1的变化不可忽视，故此时应计算1或R。Stone平均单位压力计算式6.5Stone平均单位压力计算模型只适用于冷轧薄板的变形过程，其依据有二：①冷轧薄板时，D/h很大，故轧辊的弹性压扁大；②因加工硬化使，很大，使轧制压力大，故轧辊的弹性压扁严重。鉴于此，常将接触面看作平面（而非弧面），如此处理既简化了计算又符合现场实际。6.5.1Stone平均单位压力计算模型若将接触面看作平面，推导过程就与平砧压缩矩形薄件（工程法）完全相同，在塑性加工力学”中已得到，其结果为：有张力时：P(13)pB-1'无张力时：P(14)DB.I其中，x=f.1/h，=(q+qh)确定的图解法6.5.274

74 5．比较 1 l 与 2 l ＝l 1 －l 2  ， 当  很小时计算停止。一般令 4 10−  = 即 可。 当材料的变形抗力大导致轧制压力 P 较大时，或对产品精度要求 较高时，如冷轧薄板，轧辊和轧件的弹性变形所引起的变形区长度 l 的变化不可忽视，故此时应计算 l 或 R。 6.5 Stone平均单位压力计算式 Stone平均单位压力计算模型只适用于 冷轧薄板的变形过程，其依据有二： ①冷轧薄板时， D h 很大，故轧辊的 弹性压扁大； ②因加工硬化使  s 很大，使轧制压力 大，故轧辊的弹性压扁严重。鉴于此，常 将接触面看作平面（而非弧面），如此处理既简化了计算又符合现场 实际。 6.5.1 Stone平均单位压力计算模型 若将接触面看作平面，推导过程就与平砧压缩矩形薄件（工程 法）完全相同，在＂塑性加工力学＂中已得到，其结果为： 有张力时： ) 1 ( ) ( x e K q B l P p x − = −    = (13) 无张力时： ) 1 ( x e K B l P p x − =    = (14) 其中， , ( ) H h x = f l h q = q + q 6.5.2 确定 l 的图解法