《轧钢工艺学》课程授课教案（轧制原理讲义）第五章 轧制单位压力

第五章轧制单位压力分布函数式教学目的和要求：了解轧制单位压力的基本概念，熟练掌握Karman方程及其采利柯夫解的推导过程，了解Orowan方程及其Sims解、Stone方程及其Stone解的求解过程。重点难点：重点：Karman方程及其求解的思路及方法；难点：Orowan单位压力微分方程式的推导。5.1基本概念5.1.1轧制单位压力轧制时，接触弧上单位面积上所作用的正压力，称为轧制单位压力，简称单位压力，常用p示之。图1轧制单位压力p图2轧制压力5.1.2轧制压力P轧制压力是单位压力p在整个接触面的水平投影面积上的总和，用P示之。故P的方向与y轴平行，如图2所示。水平投影面积系指将接触面积投影到水平方向后的值。P=B.f'p.(Rdo.cos0)=B.f"p·dx(1)其中R·do=ds，而ds=dx/cos,B=(B+b)/25.1.3平均单位压力P平均单位压力指接触面水平投影面积上单位压力p的平均值。(2)p=P/F46

46 第五章 轧制单位压力分布函数式 教学目的和要求：了解轧制单位压力的基本概念，熟练掌握 Karman 方程及 其采利柯夫解的推导过程，了解 Orowan 方程及其 Sims 解、Stone 方程及其 Stone 解的求解过程。 重点难点：重点：Karman 方程及其求解的思路及方法；难点：Orowan 单位 压力微分方程式的推导。 5.1 基本概念 5.1.1 轧制单位压力 轧制时，接触弧上单位面积上所作用的正压力，称为轧制单位压力，简称单 位压力，常用 p 示之。 图1 轧制单位压力 p 图2 轧制压力 5.1.2 轧制压力 P 轧制压力是单位压力 p 在整个接触面的水平投影面积上的总和，用 P 示之。 故 P 的方向与 y 轴平行，如图２所示。水平投影面积系指将接触面积投影到水平 方向后的值。 P B p Rd B p dx L p L    =   0  ＝ (  cos ) （1） 其中 R  d = ds ，而 ds = dx cos，B = (B + b) 2 5.1.3 平均单位压力 p 平均单位压力指接触面水平投影面积上单位压力 p 的平均值。 p = P F （2）

5.2Karmann方程及其采利柯夫解这一节是本章的重点，也是本课的核心内容。许多单位压力p的分布式都是通过推导Karmann方程而得到的。本节将重点建立Karmann方程，并以采利柯夫对该方程的求解作为例子，来讨论求Karmann方程的方法。要求：1.对Karmann方程应能独立完成推导：2.对采利柯夫得到的解析解-一p的分布函数式，应能进行理论上的分析，并能掌握求解Karmann方程的基本方法。5.2.1Karmann方程假定条件：1.材料为各向同性、均质连续体；2. △b=0;3.变形区内各截面上的、，沿高度方向不变一平截面假定；4．变形区内轧件的长、宽、高方向就是主方向；5.不考虑轧辊的弹性压扁及轧件的弹性变形。图3推导Karmann方程图示下面利用图3来推导Kamann方程。从假定条件中已能看出，该方程的推导方法为近似工程法。1．建立近似平衡微分方程在后滑区取一宽为dx的微分单元体小条，其上受力如图3所示，令B=1，则由ZX=0，有47

47 5.2 Karmann方程及其采利柯夫解 这一节是本章的重点，也是本课的核心内容。 许多单位压力 p 的分布式都是通过推导Karmann方程而得到的。本节将重点 建立Karmann方程，并以采利柯夫对该方程的求解作为例子，来讨论求Karmann 方程的方法。要求： 1．对Karmann方程应能独立完成推导； 2．对采利柯夫得到的解析解—— p 的分布函数式，应能进行理论上的分 析，并能掌握求解Karmann方程的基本方法。 5.2.1 Karmann方程 假定条件： 1．材料为各向同性、均质连续体； 2． b = 0 ； 3．变形区内各截面上的 x v 、 x 沿高度方向不变——平截面假定； 4．变形区内轧件的长、宽、高方向就是主方向； 5．不考虑轧辊的弹性压扁及轧件的弹性变形。 图3 推导Karmann方程图示 下面利用图3来推导Karmann方程。从假定条件中已能看出，该方程的推导方 法为近似工程法。 1．建立近似平衡微分方程 在后滑区取一宽为 dx 的微分单元体小条，其上受力如图3所示，令 B = 1，则 由 X = 0 ，有

-2(o+do)(y+dy)+2oxy-2t,dscos0+2Pdssin0=0化简后doy+dy+do,dy+t,dscos0-pdssin0=0现对该式进行近似处理并整理①忽略高阶无穷小量do,dy；②方程两边同时乘以ydx；③ ds = dx/cos0 =dy/sin 0则得dor.=0dxydxydxydor_I-=0(3)dxdxyy2．近似屈服条件3=-,=-p,这里p是单由假定④，知,=-，02=-0.=-0m2位压力而非静水压力。根据屈服条件，0,-0,=2k=K，即-C- -(-p)=Kp-,=Ko,=p-Kdo, =dp将其代入(3)式中，得_=0(4a)dxydxy同理，前滑区的Karmann方程为__=0(4b)dxydxy这就是著名的Karmann微分方程式。3.Karmann微分方程式的第二种表达形式将高阶无论穷小略去后，式（1）可写成如下的形式doxy+o,dy=trdscos0-pdssin0d(oy)=t,ds cos0+ pdssin 0根据屈服条件，α，=p-K，而y=he/2，ds=Rde代入上式，48

48 − 2( x + d x )( y + dy) + 2 x y − 2 f ds cos + 2Pdssin  = 0 化简后 d x y + xdy + d xdy + f ds cos − pdssin  = 0 现对该式进行近似处理并整理 ①忽略高阶无穷小量 d dy  x ； ②方程两边同时乘以 ydx ; ③ ds = dx cos =dy sin  则得 + + − = 0 dx dy y p dx y dy dx y d x x f     + = 0 − − dx y dy y p dx d x x f    （3） 2．近似屈服条件 由假定④，知  1 = − x ,  2 = − z = − m ,  3 = − y = − p ,这里 p 是单 位压力而非静水压力。 根据屈服条件，  1 − 3 = 2k = K ，即 d dp p K p K p K x x x x = = − − = − − − =     ( ) 将其代入(3)式中，得 − + = 0 y τ dx dy y K dx dp f （4a） 同理，前滑区的Karmann方程为 − − = 0 y τ dx dy y K dx dp f （4b） 这就是著名的Karmann微分方程式。 3．Karmann微分方程式的第二种表达形式 将高阶无论穷小略去后，式（1）可写成如下的形式 d x y + x dy = f ds cos − pdssin  d( x y) =  f ds cos  pdssin  根据屈服条件，  x = p − K ，而 y = h 2， ds = Rd 代入上式

[(p-K)=2R(psin OF↑, cos0)(5)deKarmann方程的这种表达形式，后面将用来与Orowan方程相比较。5.2.2卡尔曼方程的求解条件1.单位摩擦力f沿接触弧的分布规律①全滑动：Ty=fp(f =const)其中「为摩擦系数，当接触面上摩擦不严重时，采用该摩擦规律是适合的。很多p分布式的求解都应用了该规律，如采利柯夫、Bland、Stone、克拉廖夫、Smith等公式。②全粘着：T, =k= K/2接触面上的摩擦切应力已达剪切屈服应力，所以该式适于接触面摩擦严重的变形过程。Sims采用了该规律。③混合摩擦：接触面按摩擦分区：滑动区与粘着区滑动区：t,=f·p粘着区：T,=k=K/2这一摩擦规律为陈家民公式所采用。④液体摩擦：dvrt,=ndy即摩擦切应力tf与流体的速度梯度成正比，这一规律称为Newton定律，比例系数n称为液体的粘度系数。该规律仅适于冷轧，为Nadai公式所采用。③对屈服应力加权：Tf=mk(或t,=m.o,)其中0<m<1，为摩擦因子。该规律一般用于接触面摩擦较重的情况，为切克马廖夫所采用。③摩擦切应力是单位压力p的某个函数：Ty =f(p)49

49  ( ) (    )   2 sin cos f h p K R p d d − =  （5） Karmann方程的这种表达形式，后面将用来与Orowan方程相比较。 5.2.2 卡尔曼方程的求解条件 1．单位摩擦力  f 沿接触弧的分布规律 ①全滑动：  f ＝f  p ( f = const) 其中 f 为摩擦系数，当接触面上摩擦不严重时，采用该摩擦规律是适合的。很多 p 分布式的求解都应用了该规律，如采利柯夫、Bland、Stone、克拉廖夫、Smith 等公式。 ②全粘着：  f = k = K 2 接触面上的摩擦切应力  f 已达剪切屈服应力，所以该式适于接触面摩擦严重的变 形过程。Sims采用了该规律。 ③混合摩擦： 接触面按摩擦分区：滑动区与粘着区 滑动区：  f = f  p 粘着区： f = k = K 2 这一摩擦规律为陈家民公式所采用。 ④液体摩擦： dy dvx f  =  即摩擦切应力  f 与流体的速度梯度成正比，这一规律称为Newton定律，比例系 数  称为液体的粘度系数。该规律仅适于冷轧，为Nadai公式所采用。 ⑤对屈服应力加权：  f m  f  s =  k (或 = m ) 其中 0  m 1 ，为摩擦因子。该规律一般用于接触面摩擦较重的情况，为切克马 廖夫所采用。 ⑥摩擦切应力是单位压力 p 的某个函数：  f = f ( p)

北京钢院式用之。2.接触弧方程（y=f(x)关系）①圆弧：较精确，但推导麻烦，如Bland、Sims等用之。②抛物线：是一种近似，Nadai、Siebel等用之。③直线：以弦代弧，采利柯夫用之。④平板：Stone用之。3.变形抗力的取法无硬化：K=C（热变形适用）②有硬化，但取平均值：K=（K，+K)/2③线性关系加权：K=a·K+b.Kh其中a、b为权。④带张力时：K=K-qK沿接触弧具有分布函数关系：HK'=V.K.h.其中v、n为常数，通过两个实验可定。5.2.3Karmann方程的采利柯夫解这里将导出采利柯夫的单位压力p分布函数式。①假定条件：①摩擦规律——接触面全滑动：t,=f·p，解除面摩擦不太严重时适用。②接触弧方程（y=f(x）关系）一以弦代弧：根据两点式直线方程，在图3所示的坐标系下，找出两个点：（0,h/2)，兴x+台，如此处理，只有在压薄件(I,H/2），由此可写出直线方程为：y=2'21x7>1)时才适用，否则偏差较大。h③平面变形抗力为常数：K=1.155g，=const，可见热变形时适用。50

50 北京钢院式用之。 2．接触弧方程（ y = f (x) 关系） ①圆弧： 较精确，但推导麻烦，如Bland、Sims等用之。 ②抛物线： 是一种近似，Nadai、Siebel等用之。 ③直线： 以弦代弧，采利柯夫用之。 ④平板： Stone用之。 3．变形抗力的取法 ①无硬化： K = c （热变形适用） ②有硬化，但取平均值： K＝（KH＋Kh）2 ③线性关系加权： K a K H b Kh ＝  ＋  其中ａ、ｂ为权。 ④带张力时： K z = K − q ⑤ K 沿接触弧具有分布函数关系： n hx H K＝  K ( ) 其中  、n 为常数，通过两个实验可定。 5.2.3 Karmann方程的采利柯夫解 这里将导出采利柯夫的单位压力 p 分布函数式。 ① 假定条件： ①摩擦规律——接触面全滑动：  f = f  p ，解除面摩擦不太严重时适用。 ②接触弧方程（ y = f (x) 关系）——以弦代弧： 根据两点式直线方程，在图3所示的坐标系下，找出两个点： (0, h 2)， (l, H 2)，由此可写出直线方程为： 2 2 h x l h y +  = ，如此处理，只有在压薄件 (  1) h l 时才适用，否则偏差较大。 ③平面变形抗力为常数： K const =1.155 s = ，可见热变形时适用

从上述假定条件可看出，采利柯夫解只适用于热轧薄件的道次，或热轧带钢。2.边界条件：①入口处（x=1）：无张力：y=H/2，p=K有后张力：=H/2，p=K-qH=K(1-q/K)=5-K将称为后张力系数。②出口处（x=0）：无张力：y=h/2，p=K有前张力：y=h/2，p=K-qh=K(1-qh/K)=5h·K将5,称为前张力系数。3.推导：①求通解：由Karmann方程：dp_d+=0dxydxy将t，=f·p代入，则有+()p=(6)dx -ydx为推导方便，这里未将假定②代入，该式可写成如下形式：(7)p'±P(x)·p=Q(x)此为一阶变系数非齐次微分方程，根据《高等数学》，其通解为：P= P(Jo()[P).dy+c)=yd)(8)②求特解（确定积分常数）：AhxhAhdx，故首先将(8)式中的dx换算成dy，由y=则dy=r+2122121 dydx =h将此式代入(8)中，且令21=8.则通解可写成：Ah51

51 从上述假定条件可看出，采利柯夫解只适用于热轧薄件的道次，或热轧带 钢。 2．边界条件： ①入口处（ x = l ）： 无张力： y = H 2， p = K 有后张力： y = H 2， p = K − qH = K(1− qH K) = H K 将  H 称为后张力系数。 ②出口处（ x = 0 ）： 无张力： y = h 2， p = K 有前张力： y = h 2， p = K − qh = K(1− qh K) = h  K 将  h 称为前张力系数。 3．推导： ①求通解: 由Karmann方程∶ −   = 0 dx y dy y K dx dp f  将  f = f  p 代入，则有 dx dy y K ) p y f ( dx dp   =  （6） 为推导方便，这里未将假定②代入，该式可写成如下形式： p  P(x) p = Q(x) （7） 此为一阶变系数非齐次微分方程，根据《高等数学》，其通解为： ( ( ) ) ( ) ( ) p e Q x e dy c P x dx P x dx  +     =      e ( K y e dy c) f y dx f y dx  +     =      （8） ②求特解（确定积分常数）： 首先将(8)式中的 dx 换算成 dy ，由 2 2 h x l h y +  = ，则 dx l h dy 2  = ，故 dy h l dx  = 2 将此式代入(8)中，且令 =  h 2l f ,则通解可写成：

p=efo/nd-([ k/ yjo/.dy+c)(9)分别对前、后滑区进行积分，则可得两区的单位压力p和p,的分布函数式。现以后滑区为例。对后滑区：P=e8(n)(/yy)+c)=c y-*e+[ k/yc+ y*dy]=c°. y-[e+K. Jc+. y6-ldy]=c. y-".[c+K.c**. y°/8+c ]=c*.cy-+K.$"+c.cys(10)=(c-.c+c-*.c2).y-+K/8=Cu"y-°+K/8同理，对前滑区可得：(11)Ph=Chy+-K/8下面利用边界条件求出积分常数ch和ch。将入口处的边界条件：x=l.y=H/2，P=K（无张力时），代入（10）式，则K = CH -(H/2)-° + K/8解出Ch =K·(1-8-")-(H/2)o将出口处的边界条件：x=0,y=h/2，p=K（无张力时），代入（11）式，则K = Ch-(h/2)- - K/8解出Ch = K ·(1+8-")-(h/2)-8将c和c,的表达式分别代入（10）、（11）两式，则得到无张力条件下的采利柯夫单位压力p的分布函数式：K(12a)后滑区：PHSK(8 + 1)(12b)前滑区：Ph=式中h.=2y。同样方法，可得到具有前后张力时的采利柯夫单位压力p的分布函52

52 p e ( K y e dy c) y dy y dy  +     =        （9） 分别对前、后滑区进行积分，则可得两区的单位压力 H p 和 h p 的分布函数式。现 以后滑区为例。对后滑区： ( ) (ln ln ) (ln ln ) 1 1 p e K y e dy c y C y C H =    +  −  +   +       − − + − − − + + =   +   =   +   c y c K c y dy c y c K y c y dy 1 1 1 1 1                           c y K c c c c y K c c y K c c y c y c K c y c = H  + =  +   + =   +  +   =   +   + − −  − − −  − − − − − − + ( ) 1 1 2 1 2 1 1 1 1 2 （10） 同理，对前滑区可得：   ph = ch  y − K + （11） 下面利用边界条件求出积分常数 H c 和 h c 。 将入口处的边界条件： x = l , y = H 2, p = K （无张力时），代入（10）式，则   K = cH  H + K − ( 2) 解出  (1  ) ( 2) 1 cH = K  −  H − 将出口处的边界条件： x = 0, y = h 2, p = K （无张力时），代入（11）式，则   K = ch  h − K − ( 2) 解出   − − = (1+ )( 2) 1 ch K h 将 H c 和 h c 的表达式分别代入（10）、（11）两式，则得到无张力条件下的采利柯 夫单位压力 p 的分布函数式： 后滑区： ( )       =  −1 ( ) +1    x H h K H p （12a） 前滑区： ( )       =  +1 ( ) −1    h K h p x h （12b） 式中 h y x = 2 。同样方法，可得到具有前后张力时的采利柯夫单位压力 p 的分布函

数式：K(h8-1) () +1(13a)后滑区：PSK[(56+1)() -1(13b)前滑区：Ph=S4．利用采利柯夫式推出求解中性角或中型面高度h，的计算模型利用中性面高度h，的计算式，可得到比值h,/h与中性角的关系h, =h+D.(1-cosr)=h+ D2sin=h+ Ry?则h, /h=1+ Ry? /h(14)而比值h/h，可由采利柯夫式导出。下面推出h,/h的计算式。因在中性面处有ph=Pn，即K(6-1) ()° +1[(6+1) (%) -18h将h,/h解出：1+ /1 +(82 -1) (H/h)h.(15)h8+1当有前、后张力9h，9.时：h _[1+ /1+(5n8 -1) (5,5 +1)-(H/h)(16)h5,8+1其中5=1-q/K， 5=1-qn/K。5.2.4Karmann方程的Bland一Ford解1．假定条件：①Karmann方程的全部假定；②摩擦规律：t,=·p(f=const)，接触面按全滑动处理，且摩擦系数f=const，此条件主要针对冷轧；接触弧方程：2y=h。=h+2R·(1-cosO)2．对平衡微分方程的简化处理：根据Karmann方程的第二种表达形式：53

53 数式： 后滑区： ( )       =  −1 ( ) +1     x H H h K H p （13a） 前滑区： ( )       =  +1 ( ) −1     h K h p x h h （13b） 4．利用采利柯夫式推出求解中性角  或中型面高度  h 的计算模型 利用中性面高度  h 的计算式，可得到比值 h h 与中性角  的关系 (  )  h = h + D  1− cos 2 2 = h + D2sin   h + R 则 h h R h 2 1   = + （14） 而比值 h h ，可由采利柯夫式导出。下面推出 h h 的计算式。 因在中性面处有 ph = pH ，即 ( ) ( )       =  +  −          −1 ( ) +1 1 ( ) 1         h K h h K H 将 h h 解出：      1 2 1 1 1 ( 1) ( )         + + + −  = H h h h （15） 当有前、后张力 qh qH , 时：          1 1 1 1 ( 1) ( 1) ( )         + + + −  +  = h H h H h h h （16） 其中  H =1− qH K,  h =1− qh K 。 5.2.4 Karmann方程的Bland－Ford解 1．假定条件： ①Karmann方程的全部假定； ②摩擦规律： f p( f const)  f =  = ，接触面按全滑动处理，且摩擦系数 f = const ，此条件主要针对冷轧； ③接触弧方程： 2 2 (1 cos ) y = h = h + R  − 2．对平衡微分方程的简化处理： 根据Karmann方程的第二种表达形式：

d(o,.y)=p.ds.sin0t,-ds.coso由屈服条件，α,=p-K，而y=he/2，ds=R·do代入上式，[(p-)]=2R (p·sin OFT,·cos0)de这里p为求解函数，θ为自变量。该式可写成如下形式：(-→(-()D(psi0+-co)Khoae(k-为顺利求解此方程，需对其进行如下简化：①等号左边第一项：Kh(P-1)= Kh + K'hgdelk由于K>0，从入口到出口越来越大；而h。0，从入口到出口越来越小。故二者之和很小，可略之。事实上经计算K和h。的数值均较小，二者大致相当。②等号左边第二项(P-1)%(Kh)：CKde其中的(p/K-1)很小，可不于考虑。理由如下：冷轧时，因轧件很薄，故影响应力状态影响系数n。=p/K的主要因素是外摩擦。若接触面绝对光滑，有n。=1，但一般情况下必n。>1。对于冷轧来说，接触面上的f很小，故（p/K-1)很小，略之偏差不大。②对接触弧方程的简化：根据假定3，Bland-Ford给出的接触弧方程为：hg=h+2R-(1-cosO)由于冷轧时，α<6，故θ很小，则sinθ~9,cos9=1，则上式变为h。=h+2R.(1-cos0)=h+R02将上述这些简化均代入平衡微分方程，则有(-1)~D-(p-0+)=D·p(+)Knoaok(17)3.Bland-Ford式的推出：（17）式可写成：(P-1)=D.P(OF))de(k-)h54

54 d( x  y) = p  dssin   f  ds cos 由屈服条件，  x = p − K ，而 y = h 2， ds = R  d 代入上式，  ( ) 2 ( sin   cos )   − =    h p K R p f d d  这里 p 为求解函数，  为自变量。该式可写成如下形式： 1 1 ( ) ( sin   cos )      =          + −      − Kh D p f d d K p K p d d Kh  为顺利求解此方程，需对其进行如下简化： ①等号左边第一项：     Kh K h K p d d Kh  =  +       −1 由于 K  0 ，从入口到出口越来越大；而 h   0 ，从入口到出口越来越小。 故二者之和很小，可略之。事实上经计算 K 和  h 的数值均较小，二者大致相 当。 ②等号左边第二项 1 ( )   Kh d d K p       − ： 其中的 (p K −1) 很小，可不于考虑。理由如下： 冷轧时，因轧件很薄，故影响应力状态影响系数 n = p K 的主要因素是外摩 擦。若接触面绝对光滑，有 n = 1 ，但一般情况下必 n  1 。对于冷轧来说，接触 面上的 f 很小，故 (p K −1) 很小，略之偏差不大。 ②对接触弧方程的简化： 根据假定3，Bland-Ford给出的接触弧方程为： 2 (1 cos ) h = h + R  − 由于冷轧时， o   6 ，故  很小，则 sin  , cos 1 ，则上式变为 2 h = h + 2R (1− cos )＝h + R 将上述这些简化均代入平衡微分方程，则有 1 D ( p ) D p( f ) K p d d Kh   f         =       − （17） 3．Bland-Ford式的推出： （17）式可写成： 1 ( f ) K p h D K p d d      =        −

其中p/K为未知函数，θ为自变量。对导数而言，上式左边中的1可去掉，并将接触弧方程代入。则2R0d(p/K)2R-fh+Rg).de4h+Re?(p/K)2R.de2f.doh/R+02+h/R+02对该式积分：h+RhJh/R+Cf-arctalRTh/R2=arcanl/R)。,则通解为;令an=P=C+ ho exp(r-an)前滑区：(18a)KRP=C-ho exp(-f-an)后滑区：(18b)KR4.确定积分常数：①无张力时：出口处：0=0, p=K,h =h,ahe =0故C* = C, = R/h将此代入（18a）式，则得P=ho.exp(r-an)前滑区：(19)Khh入口处：O=α,p=K,h =H,an =ah故C"=Ch =R/H-exp(f-au)其中an = 2/R/h arctan(/R/h .α)(20)可见a是一常数。将（20）式入（18b）式，则得P_ho exp(r-(ag-an)后滑区：(21)KHH55

55 其中 p K 为未知函数，  为自变量。对导数而言，上式左边中的１可去掉，并将 接触弧方程代入。则     d h R R f h R R p K d p K  +  + = ) 2 2 ( ( ) ( ) 2  2 2 2 2 2     +  +  = h R f d h R R d  对该式积分： h R C h R f R h R K p +                  +  =        ln ln 2 arctan 2  令 ( h R) h R ah   arctan 2 =  ，则通解为： 前滑区： ( )   ah f R h C K p =    + exp （18a） 后滑区： ( )   ah f R h C K p =   −  − exp （18b） 4．确定积分常数： ①无张力时： 出口处： = 0 = = = 0    ，p Kh，h h，ah 故 C = Ch = R h + 将此代入（18a）式，则得 前滑区： ( )   h h f a h h K p =  exp  （19） 入口处：  =，p = KH，h = H，ah = aH 故 ( ) H aH C = C = R H  f  − exp 其中 a = R h  ( R h ) H 2 arctan （20） 可见 H a 是一常数。将（20）式入（18b）式，则得 后滑区： exp( ( ))   H h H f a a H h K p =   − （21）