《信息论与编码基础》课程教学资源（教案讲义）第五章（5-2）变换编码

乜····· a (a)x1x2幅度等级的坐标系统 (b)新坐标系统

() y的方差及比特数分配 y3 y4 相对方差值 0.16500700.0330.0250.0290.0110.012 相对方差值(b)0-157-231-297-320-308-392-38 分配比特数74 2 累计比特数711141618202122

yi的方差及比特数分配 y0 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 相对方差值 1 0.165 0.070 0.033 0.025 0.029 0.011 0.012 相对方差值（db） 0 -15.7 -23.1 -29.7 -32.0 -30.8 -39.2 -38.5 分配比特数 7 4 3 2 2 2 1 1 累计比特数 7 11 14 16 18 20 21 22

变换编码基本思想: 先对信源输出进行某种变换,将 其从一种信号表示空间变换为另 种信号表示空间,使新的信号空间中 各信号分量相关性很小或互不相关, 然后再对变换后的分量进行编码,以 达到压缩数据的目的。 变换T量比Q 编码C 信 .HQ 变换城采样 图5.7变换编码一般框图 填季

变换编码基本思想： 先对信源输出进行某种变换，将 其从一种信号表示空间变换为另一 种信号表示空间，使新的信号空间中 各信号分量相关性很小或互不相关， 然后再对变换后的分量进行编码，以 达到压缩数据的目的

1,1 1,N-1 N-1,0 代数知识: 对于实对称矩阵φ,必存在一个正交 矩阵Q,可使 M Qo2=000 λn 其中x,2…,是φ的n个特征根

              = − − − − − − 2 1, 1 2 1,1 2 1,0 2 1, 1 2 1,1 2 1,0 2 0, 1 2 0,1 2 0,0 ... ... ... ... ... ... ... N N N N N N x           代数知识： 对于实对称矩阵  ，必存在一个正交 矩阵 Q，可使             = = − n T Q Q Q Q      0 ... 0 2 1 1 其中    n , ... 1 2 是  的 n 个特征根

信号序列:{xm)}m=0,-,-1 2水 ∑X(m)eN DFT:Y(k)=、Nm=0 修改 X(m)(k=0 j(2m+1) (2m+1) Y(k) ∑ X(m)e ∑X(m)l √2N|m= (k=1,2,…,N-1 简化:(DCT变换公式 r(0)=-{x (0)+X(1)+…+X(N Y()=15X(0)COS+…+X(N-1)COs (2N-1) 2N F(2)= X0CS8+…+X(N-4(2N-1) 2M 2N N-1)丌 Y(N-1)=131X(0cs N-1)2N-1)丌 N 2+…+X(-l)COS 2N

信号序列： X(m) m = 0,1,..., N −1 m N k N j m X m e N DFT Y k 2 1 0 ( ) 1 : ( ) − − = =  修改：  − = = 1 0 ( ) 1 (0) N m X m N Y (k = 0)         =  +  − = − + =− − − + + − 1 0 (2 1) 2 0 ( 1) (2 1) 2 ( ) ( ) 2 1 ( ) N m m N k j m N m N k j X m e X m e N Y k   (k = 1,2,..., N −1) 简化：（DCT 变换公式）                           − − + + − − − =       − = + + −       − = + + − = + + + − N N N X N COS N N X COS N Y N N N X N COS N X COS N Y N N X N COS N X COS N Y X X X N N Y 2 ( 1)(2 1) ... ( 1) 2 ( 1) (0) 2 ( 1) 2 2(2 1) ... ( 1) 2 2 (0) 2 (2) 2 (2 1) ... ( 1) 2 (0) 2 (1) (0) (1) ... ( 1) 1 (0)       

矩阵形式: Y=C X N 2cOs 2COS 3/4 √2COS (2N-1)丌 2N 2N 2N 兀 cOS cOs 2COS 2(2N-1)丌 N 2N 2M 2N Vcos(N-I 2COS 3(N-I)z 2N 2N…√(N-1(2N-1)丌 2N y=CN中xC DCT基本思路: 在DFT基础上,将信号序列进行 相位移动、扩展,使其变为单纯的实 数域内的变换。然后对变换后的分量 进行编码,以达到数据压缩目的

矩阵形式: Y CN X   =                     − − − − − − = N N N COS N N COS N N COS N N COS N COS N COS N N COS N COS N COS N C N 2 ( 1)(2 1) ... 2 2 3( 1) 2 2 ( 1) 2 2 2(2 1) 2 2 ... 6 2 2 2 2 2 (2 1) ... 2 2 3 2 2 2 1 1 ... 1 1             T Y = CN  X CN DCT 基本思路： 在 DFT 基础上，将信号序列进行 相位移动、扩展，使其变为单纯的实 数域内的变换。然后对变换后的分量 进行编码，以达到数据压缩目的

例1:试对协方差矩阵为φ的信号进 a b b 行DCT。=babb bb a b bb a 解:N=4,则 ,且有: 1 3兀 5兀 元 cos Cos Cos cos 28√28√28 28 4 2丌16丌 0丌 14丌 cos coS cos cOs 28√28√2 2 8 13x19丌115丌121z cos cos cOS 2 2 8 2 元 cos SIn SIn cos 2 8 28 28 2 2 2 1兀 元 cos cos SIn 28 28 a+3b0 0 4=C19C!= b 0 0 a-b 000

例 1：试对协方差矩阵为φ的信号进 行 DCT。             = b b b a b b a b b a b b a b b b  X 解：N=4，则 2 1 1 = N ，且有：                     − − − − − − =                     = 8 sin 2 1 8 cos 2 1 8 cos 2 1 8 sin 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8 cos 2 1 8 sin 2 1 8 sin 2 1 8 cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 8 21 cos 2 1 8 15 cos 2 1 8 9 cos 2 1 8 3 cos 2 1 8 14 cos 2 1 8 10 cos 2 1 8 6 cos 2 1 8 2 cos 2 1 8 7 cos 2 1 8 5 cos 2 1 8 3 cos 2 1 8 cos 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4                     C             − − − + = = a b a b a b a b C C t Y X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0  4 4

例2:信源协方差矩阵为 b Px ab0b b 0bab b0ba 0 DCT结果: a+2b 小y 0+)b b b 00a0 b b (a-b KLT结果: a+2b000 0a0

例 2:信源协方差矩阵为:             = b b a b a b b a b a b b X 0 0 0 0  DCT 结果:               − − − − + − + = ) 2 0 ( 2 0 0 0 0 2 ) 0 2 0 ( 2 0 0 0 b a b b a b b a b a b Y KLT 结果：             − + = a b a a a b Y 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 