《信息论与编码基础》课程教学资源（教案讲义）第七章（7-4）线性分组码

例1:(7,3)线性分组码 l011000 l110100 0 Ih,h,h3h4 h, 1100010 0110001 设E=( e6es e4 e3 e1 eo S=RH=EH 3=e+e4+e3 S2=6+e5+e4+ +e+ 十eA

例 1：（7，3）线性分组码   0 1 2 3 4 5 6 7 0110001 1100010 1110100 1011000 H = h h h h h h h             = 设 E＝(e6 e5 e4 e3 e2 e1 e0) S=RHT= EHT        = + + = + + = + + + = + + 0 5 4 0 1 6 5 1 2 6 5 4 2 3 6 4 3 s e e e s e e e s e e e e s e e e

S与H的关系: S=RH=EH 1412 设:H 1r2 rhJrxn 其中列矢:h;= (位出错) E=(e, (0….e;nt2…0…tn…:0) T T h2 S=Bh=em-1∵0 nh1+tn2h2+…+ ∑h 结论:S是E中不为0的码元位所对应的H 矩阵的列的线性组合

S 与 H 的关系： S=RHT= EHT   n r r rn r n n h h h h h h h h h H     1 2 1 2 1 1 1 2 1 : =           =  设             = rj j j j h h h h  2 1 其中列矢： ( ) (0 0 0) 1 0  i1 i2  it  t n E e e e e e （ 位出错） = − =               = = − T n T T n T h h h S EH e e   2 1 1 0 [ ]  = − − = = + + + t j ij T n T n T n h e h e h e h 1 1 1 2 2  0 结论：S 是 E 中不为 0 的码元位所对应的 H 矩阵的列的线性组合

定理7-6:任一(n,k)线性分组码若要纠 正t个以内错误,其充要条件是H矩阵中任 何2t列线性无关。 定理7—7:(n,k)线性分组码最小距离等 于db的充要条件是H矩阵中任何d0-1列线 性无关 定理7—7′:如果线性分组码的最小距离为 d,则H矩阵中至少有一组do列按模2和 为0,而db-1列和更少列之和不为0;反之, 在H矩阵中能找到至少d列模2和为0,且 任意d-1列和更少列之和不为0,则该线性 分组码的最小距离为do 定理7-8:若线性分组码能纠正一个错误, 当且仅当其H矩阵没有全零列,且H的任 意两列都不相等 定理7-9:任一(n,k)线性分组码h≤ k+1

定理 7－6：任一（n，k）线性分组码若要纠 正 t 个以内错误，其充要条件是 H 矩阵中任 何 2t 列线性无关。 定理 7－7：（n，k）线性分组码最小距离等 于 d0 的充要条件是 H 矩阵中任何 d0-1 列线 性无关。 定理 7－7´：如果线性分组码的最小距离为 d0，则 H 矩阵中至少有一组 d0 列按模 2 和 为 0，而 d0-1 列和更少列之和不为 0；反之， 在 H 矩阵中能找到至少 d0 列模 2 和为 0，且 任意 d0-1 列和更少列之和不为 0，则该线性 分组码的最小距离为 d0。 定理 7－8：若线性分组码能纠正一个错误， 当且仅当其 H 矩阵没有全零列，且 H 的任 意两列都不相等。 定理 7－9：任一（n，k）线性分组码 d0≤ n-k+1

定理7—10:若[C是k维n重二元码,当已 知k时,若要使[C能纠正t个以内的错误, 则必须有r位校验元,且r满足 ∑ 或r≥log2∑Cn 定义7-12:若H矩阵的列是由不全为0且 互不相同的所有二进制m(≥2的正整数) 重组成,则由此H矩阵得到的线性分组码称 为GF(2)上的(2m-1,2m-1-m,3)汉明码。 (7,4)汉明码: 「0001111 H=0110011 1010101

定理 7－10：若[C]是 k 维 n 重二元码，当已 知 k 时，若要使[C]能纠正 t 个以内的错误， 则必须有 r 位校验元，且 r 满足： log [ ] 2 1 0 2 1   = =  −  t i i n t i i n r r C C 或 定义 7－12：若 H 矩阵的列是由不全为 0 且 互不相同的所有二进制 m（≥2 的正整数） 重组成，则由此 H 矩阵得到的线性分组码称 为 GF(2)上的（2 m -1，2 m -1-m，3）汉明码。 （7，4）汉明码：           = 1010101 0110011 0001111 H

系统码A: 1+2→1 0111100 1+3→2 H1=1011010 1+2+3→1 1101001 1000011 010010 0010110 0001111 系统码B: 1110100 H,=0111010 1101001 1000101 0100111 2 0010110 0001011

系统码 B：           = 1101001 0111010 1110100 H2             = 0001011 0010110 0100111 1000101 G2           = 1101001 1011010 0111100 H1 1＋2→1 1＋3→2 1＋2＋3→1             = 0001111 0010110 0100101 1000011 G1 系统码 A：

(74)汉啡乃 t 编码路 谒码 + 3-8译码路 码四