《信息论与编码基础》课程教学资源（教案讲义）第七章（7-2）线性分组码

信息序列 分组码 码字 M(mk-r.me C=(Cm-l"Co (MS {C}

分组码 信息序列 码字 M=(mk-1…m0) C=(cn-1…c0) {M} {C} f (ּ)

例!息组邵字 0101 2:r(4= 傯組乃手 Do 100o C=mm。o|109D olla Cos me cool 1a=M:m。住息a9 3=M o0000 olmo Cr=MOm Co= Me IIon Iol -:a=m 00000 m doll lolo MEmo 01o

码3的映射关系: aB faM+Bm) afM)+BfM) 00f(00)=0000 0=00000 01fM) 八(M) 0 f(M) f(M) f(M+M) f(M)+f(M) f(00+00)= f(00)+f(00)= f00.=0000100000 f(00+01)= f(00)+f(01) f01)=10110001010=1010 f(00+10 f(00)+f(10)= J10)=1011(000010=10110 11f(00+1) f(00)+f(11) f11)=01101(0000(010)=0101 f(01+10) f(01)+f(10)= f1)=010(10110+(101)=0101 f(01+11) f(01)+f(11)= 10)=101(1010+(0101)=1011 f(10+11)= f(10)+f(11)= f(01)=10110(1101)+(01101)=10110

码 3 的映射关系： αβ f(αM+βM’) αf(M)+βf(M’) 0 0 f(00)=00000 0 = 00000  0 1 f(M’) f(M’) 1 0 f(M) f(M) 1 1 f(M+M’) f(M)+f(M’) f(00+00)= f(00)=00000 f(00)+ f(00)= (00000)+(00000)=00000 f(00+01)= f(01)=10110 f(00)+ f(01)= (00000)+(10110)=10110 f(00+10)= f(10)=11011 f(00)+ f(10)= (00000)+(11011)=10110 f(00+11)= f(11)=01101 f(00)+ f(11)= (00000)+(01101)=01101 f(01+10)= f(11)=01101 f(01)+ f(10)= (10110)+(11011)=01101 f(01+11)= f(10)=11011 f(01)+ f(11)= (10110)+(01101)=11011 f(10+11)= f(01)=10110 f(10)+ f(11)= (11011)+( 01101)=10110

码4的映射关系: aB faM+Bm) afM)+BfM) 00f(00)=0000 0=00000 01fM) 八(M) 0 f(M) f(M) f(M+M) f(M)+f(M) f(00+00)= f(00)+f(00)= f00.=0000100000 f(00+01)= f(00)+f(01)= f01)=01011(00001011=01011 f(00+10)= f(00)+f(10)= f10)=10101(0000(01)=10101 f(00+11) f(00)+f(11) f11)=114000(00110 f(01+10) f(01)+f(10)= f1)=110(0101)+(0101)=-1110 f(01+11) f(01)+f(11) 10)=10101(0101)+(110)=10101 f(10+11)= f(10)+f(11)= f(01)=01011(10101)+(1)=01011

码 4 的映射关系： αβ f(αM+βM’) αf(M)+βf(M’) 0 0 f(00)=00000 0 = 00000  0 1 f(M’) f(M’) 1 0 f(M) f(M) 1 1 f(M+M’) f(M)+f(M’) f(00+00)= f(00)=00000 f(00)+ f(00)= (00000)+(00000)=00000 f(00+01)= f(01)=01011 f(00)+ f(01)= (00000)+(01011)=01011 f(00+10)= f(10)=10101 f(00)+ f(10)= (00000)+(10101)=10101 f(00+11)= f(11)=11110 f(00)+ f(11)= (00000)+(11110)=11110 f(01+10)= f(11)=11110 f(01)+ f(10)= (01011)+(10101)=11110 f(01+11)= f(10)=10101 f(01)+ f(11)= (01011)+(11110)=10101 f(10+11)= f(01)=01011 f(10)+ f(11)= (10101)+( 11110)=01011

线性分组码的基本定义 1、如果一个(n,k)分组码的编码规 则可用线性方程组表示,则称该码 为(n,k)线性分组码 2、GF(2)域上的n维线性空间的一个k 维子空间Vnk构成一个二进制(n, k)线性分组码。 定理7-3:一个(n,k)线性分组码中 非零码字的最小重量等于码的最小距离 do= min w(Ci) Ciel C;≠0

线性分组码的基本定义： 1、如果一个（n，k）分组码的编码规 则可用线性方程组表示，则称该码 为（n，k）线性分组码。 2、GF(2)域上的n维线性空间的一个k 维子空间 Vn,k 构成一个二进制（n， k）线性分组码。 定理 7－3：一个（n，k）线性分组码中 非零码字的最小重量等于码的最小距离。 min ( ) 0 [ ] 0 i C C c d W C i i   =

8-10 8, 9k-1,m 8k-2.0 8k 8k-2,n 81.081,1…g1n-1 80.0s0.1 g0.n-1⊥kxn 01·0 kikx 00…1 Pk1∵Pk k k 01…0 k h,1…btk00

k n n n k k k n k k k n k k g g g g g g g g g g g g g g g g G  − − − − − − − − − − − −                 =                 = 0,0 0,1 0, 1 1,0 1,1 1, 1 2,0 2,1 2, 1 1,0 1,1 1, 1 0 1 2 1                k k r k k r r r I P p p p p p p G =              =         1 2 1 2 1 1 1 0 00 1 01 0 10 0   r k r r rk k k Q I h h h h h h H =              = 00 1 01 0 10 0 1 2 1 2 1 1 1 0        

例4:(5,2)系统型线性分组码的校验: 出错位 方程式结果 al A2 A 无错 000 一位 CCC 出错C3 0010 C4 C 10 C3 C2 C2 CI 10 CC 两位C4C2001 出错C4C1111 Ca C C3 C 001 C3 Ce 10 C2C 101 C4C3C2010 位 C3C1C0000 出错

例 4：(5，2)系统型线性分组码的校验： 出错位 方程式结果 A1 A2 A3 无错 0 0 0 一位 出错 C0 C1 C2 C3 C4 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 两位 出错 C4 C3 C3 C2 C2 C1 C1 C0 C4 C2 C4 C1 C4 C0 C3 C1 C3 C0 C2 C0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 三位 出错 C4 C3 C2 C3 C1 C0 ┆ 0 1 0 0 0 0 ┆

(5,2)系统型线性分组码: eC,=0 ec1=0 ⊕C3团 0≈0 10100 H=01010 11001 10101 01011

（5，2）系统型线性分组码：        =  =  = 0 0 0 4 3 0 3 1 4 2 c c c c c c c           = 11001 01010 10100 H       = 01011 10101 G