《普通物理学》课程教学资源（PPT课件）第四章 相对论基础 4-4 狭义相对论动力学基础

§4-4狭义相对论动力学基础 通过前面的讨论，我们知道在不同惯性系内，时 空坐标遵守洛伦兹变换关系，所以要求物理规律符合 相对性原理，也就是要求它们在洛伦兹变换下保持不 变。牛顿运动方程对伽利略是不变式，对洛伦兹变换 不是不变式。那么，牛顿力学里一系列物理概念，在 相对论中都面临着重新定义的问题。如何定义？ 重新定义物理量的原则： (1)受到对应原则的限制，即当速度远远小于光速 时，新定义的物理量必须趋于经典物理中对 应的量。 (2)尽量保持基本守恒定律成立。 (3) 逻辑上的自洽性。 让美觉返司退

上页 下页 返回 退出 通过前面的讨论，我们知道在不同惯性系内，时 空坐标遵守洛伦兹变换关系，所以要求物理规律符合 相对性原理，也就是要求它们在洛伦兹变换下保持不 变。牛顿运动方程对伽利略是不变式，对洛伦兹变换 不是不变式。那么，牛顿力学里一系列物理概念，在 相对论中都面临着重新定义的问题。如何定义？ 重新定义物理量的原则 ： （1）受到对应原则的限制，即当速度远远小于光速 时，新定义的物理量必须趋于经典物理中对 应的量。 （2） 尽量保持基本守恒定律成立。 （3） 逻辑上的自洽性。 §4-4 狭义相对论动力学基础

一、相对论力学的基本方程 1.相对论质量 当物体以速度v运动时，物体的质量不再是常量，由于 空间各向同性，设质量只依赖于速度y的大小而与它的 方向无关，即 m=m(v） 当c0时，m→经典力学中的质量m(m,称静止质量) 下面考察一个例子： 两个全同粒子A、B的完全非弹性碰撞。 碰撞前 m A 碰撞后 M A、B两个全同粒子正碰后结合成为一个复合粒子。 王意子返回道球

上页 下页 返回 退出 1.相对论质量 下面考察一个例子： 两个全同粒子A、B的完全非弹性碰撞。 m=m(v) （m0称静止质量）。 M(u) A m B 碰撞前 m 碰撞后 当v/c→0时, m→经典力学中的质量m0 , A 、B两个全同粒子正碰后结合成为一个复合粒子。 一、相对论力学的基本方程 当物体以速度 运动时,物体的质量 m不再是常量,由于 空间各向同性,设质量只依赖于速度 的大小而与它的 方向无关，即 v r v r

我们分别以A、B两个粒子为惯性参照系来讨论。 碰撞前K系中，B粒子静止，A粒子速率为y A粒子质量为mA=m(y);B粒子质量为mB=mo KB m(v) mo A B K系中，A粒子静止，B粒子速率为 A粒子质量为mA=mo;B粒子质量为mB=m() K m(v) mo A 让美下觉返同速

上页 下页 返回 退出 碰撞前 B KB m(v) A v m0 KA A B m0 m(v) -v 我们分别以A、B两个粒子为惯性参照系来讨论。 KB系中，B粒子静止，A粒子速率为v , A粒子质量为mA=m(v)；B粒子质量为mB= m0 KA系中，A粒子静止，B粒子速率为v , A粒子质量为mA=m0；B粒子质量为mB= m (v)

碰撞后 设碰撞后复合粒子在K系的速度为u,质量为M(u); 设碰撞后复合粒子在K系的速度为'，由于对称性 可以看出u=-u,故复合粒子的质量仍为M(0)。 KB M(u) KA Mu） 正意子元道回退此

上页 下页 返回 退出 碰撞后 u M(u) KB M(u) -u KA 设碰撞后复合粒子在KB系的速度为u ,质量为M(u)； 设碰撞后复合粒子在K A系的速度为u ′ ,由于对称性 可以看出 u u  = − ，故复合粒子的质量仍为M(u)

根据动量守恒和质量守恒定律可以得到 m(v)v=M(u)u-(1) m(v)+m=M(u)-(2) M四)_-m)+m=1+m='-(3) m(v) m(v) m(v)u 根据洛伦兹速度变换公式可得 u-v w'=-u= 1-uv/c2 -(4) y=1+V1-v21c2 -(5) u m(v)= mo 相对论质速关系 V1-21c2 上文不美返回退球

上页 下页 返回 退出 根据动量守恒和质量守恒定律可以得到 根据洛伦兹速度变换公式可得 相对论质速关系 m v v M u u ( ) ( ) (1) = − − − 0 m v m M u ( ) ( ) (2) + = − − − 0 ( ) ( ) ( ) ( ) M u m v m m v m v + = 0 1 ( ) m m v = + (3) v u = − − 2 ' (4) 1 / u v u u uv c − = − = − − − − 2 2 1 1 / (5) v v c u = + − − − − 0 2 2 ( ) 1 / m m v v c = −

m(v)= mo V1-v2/c2 m(v) mo 物体的 静止质量。 m(y)—相对于 观察者以速度y 运动时的质量。 vc 相对论质量 0 0.2 0.40.60.81.0 让元子文返回退此

上页 下页 返回 退出 m0——物体的 静止质量。 m(v)——相对于 观察者以速度v 运动时的质量。 相对论质量 0 2 2 ( ) 1 m m v v c = − m0 0.2 0.4 1.0 0 0.6 0.8 m v( ) v c

2.相对论动量 在相对论中我们仍定义，一个质点的动量P是一个与它 的速度V同方向的矢量 p=m(v)i= mov V1-v2/c2 3,相对论力学的基本方程 5dmv d dm =1m dt dt dt dt 说明： (1)当v<<c时，m=o,F=ma F、 dm d (2)当v→c时，m0o,a= dt→0 dt m 上文不元返回退

上页 下页 返回 退出 2.相对论动量 0 2 2 ( ) 1 / m v p m v v v c = = − 3.相对论力学的基本方程 (1) 当 v<<c 时, m=m0 ， F= ma (2) 当 v→c 时, m→∞， d d d d d d d d p mv v m F m v t t t t = = = + d d v a t = d d 0 m F v t m − = → 说明： 在相对论中我们仍定义,一个质点的动量 是一个与它 的速度 同方向的矢量 P v

二、相对论质量和能量的关系 1.相对论动能 推导的基本出发是动能定理 令质点从静止开始，力所作的功就是动能表达式 推导：dM=户=5d=可p =币.(dm+md) dr d =vdm+mvdv (1) mo 由n= v2 有m2c2-m2v2=mc2 F.dr=c2dm 两边微分，得 mvdy +v-dm=c'dm (2) 上美子意道可退块

上页 下页 返回 退出 推导： 推导的基本出发是动能定理 令质点从静止开始,力所作的功就是动能表达式 A F r   d = d p r t =  d d d 1. 相对论动能 =  v pd =  + v v m m v ( ) d d ( ) 2 F r v m mv v  = + d d d 1 0 2 2 1 m m v c = - 由 2 2 2 2 2 2 m c m v m c0 - = ( ) 2 2 mv v v m c m d d d + = 2 有 两边微分，得 F dr c dm 2  =   二、 相对论质量和能量的关系

F.dr=c2dm 由动能定理E=∫F.d=mc2dm 运动能 静止能 量 量 上式表明：质点以速率运动时所具有的能量G 与质点静止时所具有的能量oc之差，等于质点相对论 性的动能。 由二项式定理展开 Ek=moc -)=mc(1+y+3 4+-1) 2 c 在 v<《c的条件下： 江觉不返回退成

上页 下页 返回 退出 0 2 k m L m E F r c m =  =   d d 2 2 E mc m c k 0 = − F dr c dm 2  =   由动能定理 静止能 量 运动能 量 2 4 2 2 k 0 0 2 4 2 2 1 3 ( 1) (1 1) 1 2 8 v v E m c m c v c c c = − = + + + − − 上式表明：质点以速率 运动时所具有的能量 ， 与质点静止时所具有的能量 之差，等于质点相对论 性的动能。 v 2 mc m c 2 0 在 v  c 的条件下： 2 k 0 1 E = 2 m v 由二项式定理展开

2.相对论总能量 量 量 量 mc=Ex+moc > E=mc E=Ek+Eo 质能关系○之 三、相对论动量和能量的关系 在相对论中：卫= mov 1-v21e2 E=mc2 moc2 W1-v2/c2 上美子意蕴可退

上页 下页 返回 退出 E E E k 0 = + 2 2 mc m c Ek 0 = + E mc 2 = 2.相对论总能量 质能关系 总能 量 动能 量 静能 量 在相对论中： 0 2 2 1 / m v p v c = − 2 2 0 2 2 1 / m c E mc v c = = − 三、 相对论动量和能量的关系