南开大学：《大学物理学基础》课程教学资源（PPT课件）第六章 机械振动和机械波 §6.3 简谐振动的合成

$6.3简谐振动的合成同方向、3.1同频率的简谐振动的合成3.2同方向、不同频率的简谐振动的合成3.3垂直方向、同频率简谐振动的合成作业：P1796-16, 6-17 6-18

1 §6.3 简谐振动的合成 3.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 3.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 作业：P179 6-16, 6-17，6-18 3.3 垂直方向、同频率简谐振动的合成

$6.3简谐振动的合成同方向、同频率的简谐振动的合成3.1代数方法：设两个振动具有相同频率结论同一直线上运动，有不同的振幅和初相位x,(t) = A, cos(ot + Pr)x2(t) = A2 cos(ot + P2的简谐振动仍然是同频率x(t) = xi(t)+ x2(t)= (A, cos@, + A, cos @2)cosのt-(A, sin Pr + A, sin P2)sin 0t合振幅)= Acos@·cosot - Asin @·sin ot= Acos(ot + Φ

2 •• 代数方法：设两个振动具有相同频率， 同一直线上运动，有不同的振幅和初相位 3.1 同方向、同频率的简谐振动的合成 ( ) cos( ) 1 = 1  +  1 x t A t ( ) cos( ) 2 = 2  +  2 x t A t ( ) ( ) ( ) 1 2 x t = x t + x t ( A cos A cos ) cost = 1 1 + 2 2 ( A sin  A sin  )sin t − 1 1 + 2 2 = A cos  cost − A sin  sin t = A cos(t +  ) 结论： 仍 然 是 同 频 率 的 简 谐 振 动 合振幅 。 §6.3 简谐振动的合成

式中：A = A? + A? +2A,A, cos(P2 -P1)A sinP + A, sinp@ = arctgA cos@, + A, cosP可见：k = 0,±1,±2,..P2-Φ=2k元A= A +A,合振幅最大。A

3 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 A = A + A + 2A A  −  式中： 1 1 2 2 1 1 2 2      cos cos sin sin A A A A arctg + + = 可见：  2 −  1 = 2k k = 0,1,2,  A = A1 + A2 合振幅最大。 A2 A   A1 

几何方法YA1A, sin P2A0A, sin pDXA,cosPA,cosA = A? + A2 + 2A,A2 c0s(P2 -P)A, sinPi + A, sinP2Φ = arctgA,cos@+A2 cosp

4 A2  A  A1   2  1 X Y 1 1 A cos 2 2 A cos 1 1 A sin  2 2 A sin  •• 几何方法 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 1 A = A + A + 2A A  −  1 1 2 2 1 1 2 2      cos cos sin sin A A A A arctg + + =

上面得到：A = A? + A2 + 2 A,A, cos(P2 -P)A, sin , + A, sin P2@ = arctgA, cos P + A, cos 2讨论一:P2 -Φ, = 2k元k = 0,±1,±2,...A= A + A2合振幅最大。当 A = A,称为干涉相长。AA= 2AA

5 2 cos( ) 1 2 2 1 2 2 2 A = A1 + A + A A  − 上面得到： 1 1 2 2 1 1 2 2 cos cos sin sin      A A A A arctg + + = 讨论一：  2 −  1 = 2k k = 0,1,2,  A = A1 + A2 合振幅最大。 A2 A   A1  当 A1 = A2 称为干涉相长。 1 A = 2A

讨论二:k = 0,±1,±2,..P2 -1 = (2k +1)元A=| A, - A2 I当A, = A,时,A=0称为干涉相消讨论三:一般情况：P2 -Pi ± kπA, -A2<A<A +A2IA-

6 讨论二： | | A = A1 − A2 当 A1 = A2 时， A = 0 称为干涉相消。 A2  A  A1  讨论三： A1  A2  A   2 −  1 = (2k + 1) k = 0,1,2,  | | | | A1 − A2  A  A1 + A2  2 −  1  k 一般情况：

例：N个同方向、同频率的谐振动，振幅相等、相位依次相差，求合振动的振幅与相位。解：用多边形法则求合矢量xi=acos@t作垂线和径线x2=acos（0t+8）O在△0CMM4x3=acos（@t+2S）NSA=2Rsinx4=acos（t+3S)usx5=acos(@t+4s）48在△COD---.aa4R=2sin8/238(2)式代入(1式aasa3a3sinNS/22oA=aa2a2sin / 2iai福DP

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解：用多边形法则求合矢量sinNS/2作垂线和径线二:(3)Msin $/ 2求初相@=ZCOP-ZCOMfd元-8元-NSa4238N-1)S... (4)a38a2(N-1)sinNS/2810cos [t +02sin S/2D'P

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3.2同方向、不同频率的简谐振动的合成为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同频率振动的合成其振动表达式分别为：x,(t) = Acos(ot + Φx2(t) = Acos(@,t+@利用三角函数关系式：α-βα+βcosα+cosβ =2coscos2来计算合成振动x(t)= Acos(o,t+)+ Acos(@,t+Φ

9 3.2 同方向、不同频率的简谐振动的合成 利用三角函数关系式： 来计算合成振动： 为了简单起见，先讨论两个振幅相同，初相位 也相同，在同方向上以不同频率振动的合成。 其振动表达式分别为： 2 2 2       +  − cos + cos = cos cos x(t) = A cos( t +  ) + A cos( t +  ) 1 2 x (t) = A cos( t +  ) 2 2 x (t) = A cos( t +  ) 1 1

附录：三角函数关系式的证明βα+β+α-cOScOS22BB+ααcOSsinsin(CoscOSsinsinCOSC十222222B4aXsinCOSCOSsin22221 - cos β)l+ cosα+cosBcosα=cosα+cosB10

10 附录·：三角函数关系式的证明                       cos cos (1 cos )] 2 1 (1 cos ) 2 1 (1 cos ) 2 1 (1 cos ) 2 1 [ 2 4 ) 2 sin 2 sin 2 cos 2 (cos 2 4 ) 2 sin 2 sin 2 cos 2 )(cos 2 sin 2 sin 2 cos 2 (cos 2 4 2 cos 2 cos 2 4 2 2 2 2 = + = +  + − −  − = − = + − − +