南开大学：《大学物理学基础》课程教学资源（PPT课件）第九章 热平衡态的统计规律 §9.6 熵的统计意义

$9.6摘的统计意义6.1宏观态对应的微观分布及其概率6.2第二定律的统计表述6.3玻尔兹曼公式和的微观意义作业：P248:9-16；P249:9-18

1 §9.6 熵的统计意义 6.1 宏观态对应的微观分布及其概率 6.3 玻尔兹曼公式和熵的微观意义 6.2 第二定律的统计表述 作业：P248: 9-16; P249: 9-18

$9.6炳的统计意义从统计观点探讨过程的不可逆性和的微观意义由此深入认识第二定律的本质6.1宏观态对应的微观分布及其概率BA一个被隔板分为A、B相等两部分的容器，装有4个涂以不同颜色分子开始时，4个分子都在A部，抽出隔板后分子将向B部扩散并在整个容器内无规则运动。隔板被抽出后4分子在容器中可能的分布情形如下图所示：

2 从统计观点探讨过程的不可逆性和熵的微观意义， 由此深入认识第二定律的本质。 §9.6 熵的统计意义 6.1 宏观态对应的微观分布 及其概率 开始时，4个分子都在A部，抽出隔板后分子将向 B部扩散并在整个容器内无规则运动。隔板被抽出后， 4分子在容器中可能的分布情形如下图所示： 一个被隔板分为A、B相等 两部分的容器，装有4个涂 以不同颜色分子。 A B

分布详细分布共有24=16种可能的方式微观态（宏观态413!(4-3)！.4!62(4 - 2)!41(4 - 1)!

3 分布 （宏观态） 详细分布 （微观态）  1 4 6 4 1 共有2 4=16种可能的方式 3!(4 3)! 4! 3 4 − C = 2!(4 2)! 4! 2 4 − C = 1!(4 1)! 4! 1 4 − C =

N个全同粒子在两个相同容器中，一方出现m个另一方出现(N-m)个的微观态数。(即从N中取m个的组合数。N!ymNm!(N - m)!总的微观态数：（即m从0到N求和）N!c=2m!(N - m)!m=0m=0二项式定理：：(x+y)=>m=0ym:(1+1)N=ZNm=0

4 N个全同粒子在两个相同容器中，一方出现m个， 另一方出现(N-m)个的微观态数。(即从N中取m个 的组合数。) !( )! ! m N m N C m N − = 总的微观态数：(即m从0到N求和) N N m N m m N m N m N C 2 !( )! ! 0 0 = −  =  = = m N m N m m N N x y C x y − = + =    0 ( ) = + = N m m N N C 0 (1 1) 二项式定理：

所以，对应该宏观态的几率为N!pmNm!(N - m)!2Nm-N/2时的几率为宏观态中的最大几率N!DN/2722

5 所以，对应该宏观态的几率为 N m N m N m N P !( )!2 ! − = m=N/2时的几率为宏观态中的最大几率： N N N N N N P ! 2 2 ! 2 / 2 !  =

4个分子全部退回到A部的可能性即几率1/24=1/16。可认4个分子的自由膨胀是“可逆的一般来说，若有N个分子，则共2N种可能方式，而N个分子全部退回到A部的几率1/2N.对于真实理想气体系统N~1023/mol，这些分子全部退回到A部的几率为1/210此数值极小，意味着此事件永远不会发生。从任何实际操作的意义上说，不可能发生此类事件，因为在宇宙存在的年限（1018秒）内谁也不会看到发生此类事件对单个分子或少量分子来说，它们扩散到B部的过程原则上是可逆的。但对大量分子组成的宏观系统来说它们向B部自由膨胀的宏观过程实际上是不可逆的这就是宏观过程的不可逆性在微观上的统计解释

6 4个分子全部退回到A部的可能性即几率1/24=1/16。 可认4个分子的自由膨胀是“可逆的”。 一般来说，若有N个分子，则共 2 N种可能方式，而N个 分子全部退回到A部的几率1/2N.对于真实理想气体系统 N1023/mol，这些分子全部退回到A部的几率为 。 此数值极小，意味着此事件永远不会发生。从任何实际 操作的意义上说，不可能发生此类事件，因为在宇宙存 在的年限（ 1018秒）内谁也不会看到发生此类事件。 23 10 1 2 对单个分子或少量分子来说，它们扩散到B部的过程 原则上是可逆的。但对大量分子组成的宏观系统来说， 它们向B部自由膨胀的宏观过程实际上是不可逆的。 这就是宏观过程的不可逆性在微观上的统计解释

6.2热力学第二定律的统计表述（依然看前例）左边一列的各种分布仅指出A、B两边各有几个分子，代表的是系统可能的宏观态中间各列是详细的分布，具体指明了这个或那个分子各处于A或B哪一边，代表的是系统的任意一个微观态4个分子在容器中的分布对应5种宏观态一种宏观态对应若干种微观态不同的宏观态对应的微观态数不同，均匀分布对应的微观态数最多全部退回A边仅对应一种微观态

7 （依然看前例） 左边一列的各种分布仅指出A、B两边各有几 个分子，代表的是系统可能的宏观态。 中间各列是详细的分布，具体指明了这个或那 个分子各处于A或B哪一边，代表的是系统的 任意一个微观态。 4个分子在容器中的分布对应5种宏观态。 一种宏观态对应若干种微观态。 不同的宏观态对应的微观态数不同。 均匀分布对应的微观态数最多。 全部退回A边仅对应一种微观态。 6.2 热力学第二定律的统计表述

在一定的宏观条件下，各种可能的宏观态中哪一种是实际所观测到的统计物理基本假定一等几率原理：对于孤立系，各种微观态出现的可能性（或几率）是相等的。各种宏观态不是等几率的。哪种宏观态包含的微观态数多，这种宏观态出现的可能性就大

8 统计物理基本假定—等几率原理：对于 孤立系，各种微观态出现的可能性（或 几率）是相等的。 在一定的宏观条件下，各种可能的 宏观态中哪一种是实际所观测到的？ 各种宏观态不是等几率的。哪种 宏观态包含的微观态数多，这种 宏观态出现的可能性就大

定义热力学几率：与同一宏观态相应的微观态数称为热力学几率。记为Q。在上例中，均匀分布这种宏观态，相应的微观态最多，热力学几率最大，实际观测到的可能性或几率最大。对于1023个分子组成的宏观系统来说，均匀分布这种宏观态的热力学几率与各种可能的宏观态的热力学几率的总和相比，此比值几乎或实际上为100%。因此，实际观测到的总是均匀分布这种宏观态。即系统最后所达到的平衡态

9 定义热力学几率：与同一宏观态相应的微观 态数称为热力学几率。记为 。 在上例中，均匀分布这种宏观态，相应的微 观态最多，热力学几率最大，实际观测到的 可能性或几率最大。对于1023个分子组成的 宏观系统来说，均匀分布这种宏观态的热力 学几率与各种可能的宏观态的热力学几率的 总和相比，此比值几乎或实际上为100%。 因此，实际观测到的总是均匀分布这种宏观 态。即系统最后所达到的平衡态

平衡态相应于一定宏观条件下Q最大的状态热力学第二定律的统计表述孤立系统内部所发生的过程总是从包含微观态数少的宏观态向包含微观态数多的宏观态过渡从热力学几率小的状态向热力学几率大的状态过渡。10

10 平衡态相应于一定宏观 条件下 最大的状态。 热力学第二定律的统计表述： 孤立系统内部所发生的过程总是从包含微观态 数少的宏观态向包含微观态数多的宏观态过渡， 从热力学几率小的状态向热力学几率大的状态 过渡