南开大学：《大学物理学基础》课程教学资源（PPT课件）第九章 热平衡态的统计规律 §9.1 统计分布规律的基本概念 §9.2 麦克斯韦分布律

第九章热平衡态的统计规律

1 第九章 热平衡态的统计规律

前言分子运动论的基本观点宏观物体是由大量微粒-分子（或原子）组成的·物体中的分子处于永不停息的无规则运动中，其激烈程度与温度有关分子之间存在着相互作用力从上述物质分子运动论的基本观点出发，研究和说明宏观物体的各种现象和性能是统计物理学的任务本节讨论的气体分子运动论是统计物理学最简单最基本的内容。其目的使我们了解一些气体性质的微观解释，并学到一些统计物理的基本概念和方法

2 • 宏观物体是由大量微粒-分子（或原子）组成的。 • 物体中的分子处于永不停息的无规则运动中，其激 烈程度与温度有关。 • 分子之间存在着相互作用力。 从上述物质分子运动论的基本观点出发，研究和说 明宏观物体的各种现象和性能是统计物理学的任务 本节讨论的气体分子运动论是统计物理学最简单最 基本的内容。其目的使我们了解一些气体性质的微 观解释，并学到一些统计物理的基本概念和方法。 前 言 分子运动论的基本观点:

$9.1统计分布规律的基本概念1.1统计分布规律分布函数1.2$9.4玻尔兹曼能量分布律$9.2麦克斯韦分布律2.1麦克斯韦速度分布律2.2麦克斯韦速率分布律麦克斯韦速度分量分布律2.3作业P247:9-5,9-6,9-7;P248:9-8.9-9,9-10.9-11,9-12

3 §9.1 统计分布规律的基本概念 1.1 统计分布规律 1.2 分布函数 §9.2 麦克斯韦分布律 2.2 麦克斯韦速率分布律 2.3 麦克斯韦速度分量分布律 2.1 麦克斯韦速度分布律 §9.4 玻尔兹曼能量分布律 作业 P247: 9-5, 9-6, 9-7; P248: 9-8, 9-9, 9-10,9-11, 9-12

$9.1统计分布律的基本概念统计分布律1.1统计规律性：分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但是，总体上却存在着确定的规律性。（例：理想气体压强）人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的规律性称为统计规律性加尔顿板－说明统计规律的演示实验

4 *统计规律性： 分子运动论从物质微观结构出发，研究大量分子组 成的系统的热性质。其中个别分子的运动（在动力 学支配下）是无规则的，存在着极大的偶然性。但 是，总体上却存在着确定的规律性。（例：理想气 体压强） 人们把这种支配大量粒子综合性质和集体行为的 规律性称为统计规律性。 伽尔顿板－说明统计规律的演示实验 §9.1 统计分布律的基本概念 1.1 统计分布律

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大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规律开高斯分布120火f(x)=2元0#统计规律永远伴随涨落现象一切与热现象有关的宏观量（如P、T）的数值都是统计平均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给定局部范围内，观测值都与统计平均值有偏差气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律为研究气体分子速度分布的定量规律，有必要介绍分布函数的概念

6 # 大量小球整体按狭槽的分布遵从一定的统计规律。 气体中个别分子的速度具有怎样的数值和方向完全 是偶然的，但就大量分子的整体来看，在一定的条 件下，气体分子的速度分布也遵从一定的统计规律。 为研究气体分子速度分布的定量规律，有必要介绍 分布函数的概念。 #统计规律永远伴随涨落现象。 一切与热现象有关的宏观量（如P、T）的数值都 是统计平均值。在任一给定瞬间或在系统中任一给 定局部范围内，观测值都与统计平均值有偏差。    / 2 2 2 1 ( ) x f x e − *高斯分布 =

1.2分布函数以伽尔顿板实验为例说明设一定量的分子总数为NdN(x)表示分布在某区间x~x +dx内的分子数dN（x)/N表示分布在此区间内的分子数占总分子数的比率（或百分比）。dN(x)/N是x的函数，在不同区间附近取相等的间隔，此比率一般不相等当区间（间隔）足够小时（宏观小，微观大）dN（x）/N还应与区间的大小成正比

7 dN(x)表示分布在某区间 x~ x +d x 内的分子数， dN (x) /N表示分布在此区间内的分子数占总分子数 的比率（或百分比）。 以伽尔顿板实验为例说明。 设一定量的分子总数为N 当区间（间隔）足够小时（宏观小，微观大）， dN (x) /N还应与区间的大小成正比。 dN(x)/N 是 x 的函数，在不同区间附近取相等的间 隔，此比率一般不相等。 1.2 分布函数

dN(x)因此有= f(x)dxN分布函数dN(x)或 f(x)=Ndx物理意义：分子在x附近，单位区间的分子数占总分子数的比率，称为概率密度归一化条件dN(x)f(x)dx =10N归一化系数dN(x)若= CF(x)dxF(x)dxN

8 因此有 f x dx N dN x ( ) ( ) = 物理意义：分子在x 附近，单位区间的分子 数占总分子数的比率，称为概率密度。 分布函数 ( ) 1 ( ) 0 = =   f x dx N N dN x 归一化条件 N dx dN x f x  = ( ) 或 ( ) C F x dx N dN x ( ) ( ) 若 =  = F x dx C ( ) 1 归一化系数

推广到三维的情况dN(x, y,z)= f(x,y,z)dxdydzNdN分布函数或f(x,y,z)=N . dxdydz '物理意义：分子在x、J、z附近，单位区间的分子数占总分子数的比率，即概率密度归一化条件dN(x, y,z)PNf(x, y,z) dxdydz = 10N分布函数的概念有看普遍的意义，在速度空间有麦克斯韦速度分布函数

9 推广到三维的情况 f x y z dxdydz N d N x y z ( , , ) ( , , ) = 物理意义：分子在x、y、z附近，单位区间 的分子数占总分子数的比率，即概率密度。 分布函数 ( , , ) 1 ( , , ) 0 = =   f x y z dxdydz N N d N x y z 归一化条件 N dxdydz dN f x y z  或 ( , , ) = 分布函数的概念有着普遍的意义，在速度空间有 麦克斯韦速度分布函数

xdN*力学量的平均值x( xf(x)dx=Ng(x)dNg(x)g(x)f(x)dxN伽耳顿板演示结果表示，小球在槽中分布左右对称，在x=0处最多，当x→±时，f(x)→>0.由此我们可求出分布函数f(x)8+8f(x)dx =1 >xf(x) I=%xf(x)dx = 188 x=0+8xf(x)dx =xf(x)+xf(x)ldx =f(x)x)=-.f10

10 ( ) = 1   − f x dx   = = xf x dx N xdN x ( )   = = g x f x dx N g x dN g x ( ) ( ) ( ) ( ) 伽耳顿板演示结果表示,小球在槽中分布左右对称，在x＝0处 最多，当x → ±时，f(x)→0.由此我们可求出分布函数f(x) ( ) | − '( ) = 1  +  − + x f x − x f x d x  − '( ) = 1  +  − x f x d x  x = 0 =  2 令 x [ ( ) '( )] 0 2  + =  + − f x xf x dx x  '( ) f ( x) x f x   = − *力学量的平均值