南开大学：《大学物理学基础》课程教学资源（PPT课件）第三章 质点系统的运动规律 §3.4 角动量、角动量定理及角动量守恒

S 3.4角动量、角动量定理及角动量守恒3.4.1质点的角动量和角动量定理3.4.2质点系统的角动量定理3.4.3质点系统的角动量守恒定律2026/3/20

2026/3/20 1 §3.4 角动量、角动量定理及角动量守恒 3.4.1 质点的角动量和角动量定理 3.4.2 质点系统的角动量定理 3.4.3 质点系统的角动量守恒定律

$ 3.4角动量、角动量定理及守恒3.4.1 质点的角动量和角动量定理一、质点的角动量mrpLDAm0L=×p=rxmvr大小： L=rmvsinのpLO方向：右手螺旋定则判定量纲：ML2T-I单位：kgm2/s2026/3/20

§3.4 角动量、角动量定理及守恒 2026/3/20 2 3.4.1 质点的角动量和角动量定理 m r v p L 大小：L = rmvsin 方向：右手螺旋定则判定 L r p r mv =  =  L m O θ p r p r O 一 、 质点的角动量 单位：kgm2 /s 量纲：ML2T-1 L

角动量的特性：(1)角动量是矢量。(2)描述角动量，必定指明参考点。同一质点相对不同参考点得到的角动量不同。3)与动量能量一样，角动量也是物理学中最基本的概念之一Lp例如作圆周运动的质点相对于圆心的角动量L=mrv0其方向垂直于轨道平面。2026/3/20m

2026/3/20 3 (1)角动量是矢量。 (2)描述角动量，必定指明参考点。同一质点相 对不同参考点得到的角动量不同。 (3)与动量能量一样，角动量也是物理学中最基 本的概念之一 角动量的特性： 例如作圆周运动的质点相 对于圆心的角动量 L = mrv， 其方向垂直于轨道平面。 L O p r

例1：已知质点的位矢和动量的直角坐标，求对坐标原点的角动量。若质点在OxV平面上运动，结果又是怎样。解：（1)在直角坐标系中，质点对原点0的角动量为L=r×=(xi+yj+zk)x(pi+p,j+p,k)L =i(yp, - zp,)+ j(zpx-xp,)+ k(xp, -ypx)iik(2)若质点的运动平面为0xV面，i=xZ则z=0，p,=0，则Jp,PzPL=(xp,- yp)k这时质点对原点的角动量就是质点对垂直于运动平面的z轴的角动量（或称角动量在z轴的分量）2026/3/20

2026/3/20 4 例1：已知质点的位矢和动量的直角坐标，求对坐标 原点的角动量。若质点在Oxy平面上运动，结果又是 怎样。 解：(1) 在直角坐标系中，质点对原点O的角动量为 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) L r p xi yj zk p i p j p k =  = + +  + + x y z ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) L i yp zp j zp xp k xp yp = − + − + − z y x z y x ˆ ˆ ˆ x y z i j k L x y z p p p = (2) 若质点的运动平面为Oxy面， 则z = 0，pz= 0，则 ˆ ( ) L xp yp k = − y x 这时质点对原点的角动量就是质点对垂直于运动 平面的z轴的角动量（或称角动量在z轴的分量）

在质点作平面曲线运动时，角动量多用极坐标表示。对极点的角动量为de.1AL=r×p=rr ×m(dtdt:rxr=0deL×0, = mr?wr, ×mrdtL这说明质点角动量大小为mrの，方向垂直0于质点的运动平面。2026/3/205

2026/3/20 5 0 0 0 ˆ ˆ ( ) ˆ dr d L r p rr m r r dt dt  =  =  + 在质点作平面曲线运动时，角动量多用极坐标表 示。对极点的角动量为 0 0 r r ˆ  = ˆ 0 2 2 0 0 0 0 ˆ ˆ ˆ ˆ d L mr r mr r dt  =  =     这说明质点角动量大 小为mr2ω，方向垂直 于质点的运动平面。 O 0 ˆ  L 0r ˆ

例2：一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标下的矢径为：π=acosのti+bsinotia、b、の皆为常数。求：该质点对原点的角动量。r = acos oti + bsin oti解：已知dr-a sin wti + bo cos wti=dtL=rxmi= mabocos? otk + mabosin? otk:. L = mabok2026/3/206

2026/3/20 6 ˆ ˆ r a ti b tj = + cos sin   例2：一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该 曲线在直角坐标下的矢径为： a、b、皆为常数。 求：该质点对原点的角动量。 ˆ ˆ sin cos dr v a ti b tj dt = = − +     L r mv =  解：已知 2 2 ˆ ˆ = + mab tk mab tk     cos sin  = L mab k  ˆ ˆ ˆ r a ti b tj = + cos sin  

二、质点的角动量定理L=r×pdLdrddpFpXpXdtdtdtdtdLxmi+rxFdtxmv=0dLrxFdt2026/3/20

2026/3/20 9 L r p =  ( ) dL d dr dp r p p r dt dt dt dt  =  =  +  dL v mv r F dt  =  +  v mv  = 0 dL r F dt  =  二、质点的角动量定理

力矩:M=r×F定义为合力对同参考原点的力矩大小：M=rFsinθ(0为矢径与力之间的夹角）方向：右手螺旋定则单位：mN，量纲：ML2T2MM011102026/3/20

2026/3/20 10 力矩： M r F =  定义为合力对同参考原点的力矩 方向：右手螺旋定则 单位：mN，量纲：ML2T-2 M m O θ F r F r O M 大小： M rF = sin (θ为矢径与力之间的夹角)

dlMdt角动量定理：质点所受的合力矩等于质点的角动量随时间的变化率。Mdt = △i = L- L角动量定理积分形式：质点所受的合力矩的时间积累量等于质点的角动量的增量。注意：角动量和力矩都是相对于同一个参考点的。2026/3/2011

2026/3/20 11 dL M dt = 角动量定理：质点所受的合力矩等于质点的 角动量随时间的变化率。  Mdt L L L =  = − 0 角动量定理积分形式：质点所受的合力矩的 时间积累量等于质点的角动量的增量。 注意：角动量和力矩都是相对于同一个参考点的

例5：如图所示，一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内。有一质量为m的小球穿在圆环上，并可在圆环上滑动。小球开始时静止于圆环上的点A（该点在通过环心O的水平面上），然后从点A开始下滑。求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度。解：小球受正压力和重力的作用。其中正压力指向环心0，对R于0的力矩为零，故小球所受的040力矩仅为重力矩，其大小为：NM = mgRcos 0BmgmgRcos . dt = dL角动量定理M&: L = mR?o.. mgRcosOdt = mR?da2026/3/2012

2026/3/20 12 例5：如图所示，一半径为R的光滑圆环置于竖直平面 内。有一质量为m的小球穿在圆环上，并可在圆环上 滑动。小球开始时静止于圆环上的点A（该点在通过 环心O的水平面上），然后从点A开始下滑。求小球滑 到点B时对环心O的角动量和角速度。 解：小球受正压力和重力的作 用。其中正压力指向环心O，对 于O的力矩为零，故小球所受的 力矩仅为重力矩，其大小为： M mgR = cos 角动量定理 mgR dt dL cos  = M R B A  O mg N 2 L mR =  2  = mgR dt mR d cos 