南开大学：《大学物理学基础》课程教学资源（PPT课件）第六章 机械振动和机械波 §6.5 平面简谐波

$6.5平面简谐波波函数—行波方程5.15.2波的能量，能流密度* 5.3行波动力学方程作业：P1796-19, 6-20;P1806-24, 6-25, 6-26

1 §6.5 平面简谐波 5.1 波函数——行波方程 5.2 波的能量，能流密度 * 5.3 行波动力学方程 作业：P179 6-19, 6-20; P180 6-24, 6-25, 6-26

$6.5平面简谐波5.1行波方程：右行波和左行波下面要用数学表达式描述波线上每一质点在每一时刻的位移，这样的函数y=f（x,t）称为行波的波函数以横波为例说明平面简谐波的波函数已知0点振动表达式：y = Acos(ot + oV表示各质点在方向上的位移，A是振幅，の是角频x率或叫圆频率，P为0点在D零时刻的相位。At0点运动传到p点需用，所以p点的运动方程：相位落后+

2 §6.5 平面简谐波 以横波为例说明平面简谐波的波函数。 已知O点振动表达式： cos( ) =  +  0 y A t x y p u  O x  0 y表示各质点在y方向上的 位移，A是振幅， 是角频 率或叫圆频率， 为O点在 零时刻的相位。 O点运动传到 p点需用 u x t = 相位落后 u ，所以 p点的运动方程： x  5.1 行波方程：右行波和左行波 下面要用数学表达式描述波线上每一质点在每一时刻 的位移，这样的函数 y = f ( x, t) 称为行波的波函数

相位落后の=，所以p点的运动方程：y(x,t) =Acos[o(t -=)+ Po]0=2元/T2元.Xu=α/Ty(x,t) = Acos[(ot + @)2也即p点的相位落后于O点相位：这就是右行波的波方程定义k为角波数XL2元/T2元K=X一12/T2元因此下述几式等价= 2元 V=T.u=u0=T

3 ( , ) cos[ ( ) ] =  − +  0 u x y x t A t ( , ) cos[( ) ]     x y x t A t  = + − 2 0     2 2 = = = T T u k  ；   2 2 = = T  = T  u = u  定义 k 为角波数 因此下述几式等价 也即p点的相位落后于O点相位： 这就是右行波的波方程。  2x  = 2 / T u =  / T 相位落后 u ，所以 p点的运动方程： x  x y p u  O x

因此下述几式等价：(x,t) = Acos[o(t - =)]u2元xy(x,t) = Acos[ot -九1y(x,t) = Acos[2元(vt - 22元y(x,t) = Acos[(ut -x)]2y(x,t) = Acos[k(x -ut)] 0 = 2元 /Tu=/T

4 ( , ) cos[ ( )] u x y x t = A  t − 因此下述几式等价： ( , ) cos[ ]    x y x t A t 2 = − ( , ) cos[ ( )]    x y x t = A 2 t − 2 y x t A ut x ( , ) cos[ ( )]   = − y( x, t) = Acos[k( x − u t)]  = 2 / T u =  / T

2元(x+ 4xy(x + Ax,t+ At) = Acos[@(t + △t)P。]22元x2元= Acos[ot -(u△t - Ax)+ Pol22若这两处相位相同，则有：y(x + Ax,t+ At) = y(x,t)2元xy(x,t) = Acos(ot -@元2元(uAt - Ax) = 02可见波速就是相位传播的速度

5 ] ( ) ( , ) cos[ ( ) 0 2         + + + + = + − x x y x x t t A t t cos[ ( ) ] 0 2 2        =  − + u t − x + x A t y( x + x, t + t) = y( x, t) 若这两处相位相同，则有： ( , ) cos( ) 0 2    =  − + x  y x t A t 0 2  (ut − x) =   可见波速就是相位传播的速度

左行波的波函数：P点运动传到0点需用x时间：XAt = :2元x也即p点的相位超前于O点相位：の所以p点的运动方程也就是左行波的波方程Xy(x,t) = Acos[o(t + =)+Po]uy(x,t) = Acos[k(x + ut)+ Po]

6 左行波的波函数： ( , ) cos[ ( ) ] =  + +  0 u x y x t A t ( , ) cos[ ( ) ]  0 y x t = A k x + u t + 也即p点的相位超前于O点相位： 所以 p点的运动方程， 也就是左行波的波方程：    x u x 2 = p点运动传到 O 点需用 时间： u x t = x y p u  O x

例1 ：一条长线的质量线密度为p=1.5×10-2kg / m今用一水平力F=6N将它张紧，并使其上产生横波向左传播，在t=0的波形如图所示A = 4.0 ×10- m,1 = 0.4m求：波速、周期和波函数及质元振动的速度表达式解元PoF=-6=21.5×10-2=20m/su=p0.04m1X0.40.24mmT== 0.02s20u

7 一条长线的质量线密度为 今用 一水平力 将它张紧，并使其上产生横波 向左传播，在t =0的波形如图所示 1.5 1 0 k g / m −2  =  F = 6N 例1： 求：波速、周期和波函数及质元振动的速度表达式 A 4 0 1 0 m 0 4m 2 = .  , = . −  m s F u 20 / 1.5 10 6 2 =  = = −  s u T 0 02 20 0 4 . . = = =  2 0   = − t = 0 u  解： x y 0.04m 0.2m 0.4m

元0.4Φ。 =-T0.02s220U0.04muX2元X2元V=Acos(0.24m= 0.4×10-2 c0s(100元t + 5元x - 元/2)may(x,t)-Aの sin[o(t+ =)+Φ]=atay(x,t)=12.6c0s(100元t +5元x)m / s:V=y=at注意：质元振动速度与波传播速度的不同8

8 sin[ ( ) ] ( , ) v    0   = = = − + + u x A t t y x t  y t x m s t y x t y 1 2.6 cos(100 5 ) / ( , ) v      =  = = + 注意：质元振动速度与波传播速度的不同。 0.4 1 0 cos(100 t 5 x 2)m 2 =   +  −  − cos( )    x t T y A 2 2 2 = − + s u T 0 02 20 0 4 . . = = =  2 0   = − t = 0 u  x y 0.04m 0.2m 0.4m

例 6.8有一平面波在均匀介质中以速度u=20m/s沿直线传播，已知在传播路径上的某点A的振动方程为y = 3×10-4 cos4元t(米)求：（1）以A点为坐标原点的波动表达式(2)以距A点5米处的B点为坐标原点的波函数(3)B、C两点的相位差解：8米米5米(1) y = 3×10-4 cos 4元(t_ =)(米)BA2u(2): x = x'-50xy = 3×10-4 cos4元(tu0X

9 例 6.8 有一平面波在均匀介质中以速度u=20m/s沿直线 传播，已知在传播路径上的某点A的振动方程为 y = 3 1 0 −4 cos 4t(米 ） 求：(1) 以A点为坐标原点的波动表达式。 (2)以距A点5米处的B点为坐标原点的波函数。 (3)B、C两点的相位差。 x B 8米 5米 C A cos ( )(米 ） u x y =  t − − 3 1 0 4 4  x = x'−5 o x u  x' o' u  ) ' cos ( u x y t 5 3 1 0 4 4 − =  − −  解： (1) (2)

:u=20m/ sy = 3×10-4 cos4元(t -u元xy = 3×10-4 cos(4元t -+元8米米5米BAxy = 3×10-4 cos4元(t -=)(米)N4元(xc -XB△@ = PB-P =(3)4元8B点相位落后C点相位(-13 + 5) = - =△@ =元20与坐标选取无关。10

10 ) ' cos ( u x y t 5 3 1 0 4 4 − =  − −  ) ' cos(   =   − + − 5 3 1 0 4 4 x y t  u = 2 0m / s ( ) B C xC xB u = − = −     4 cos ( )(米 ） u x y =  t − − 3 1 0 4 4    5 8 1 3 5 2 0 4 = (− + ）= − B点相位落后C点相位 与坐标选取无关。 x B 8米 5米 C A o x u  (3)