《计量经济学》OLS估计量的概率分布

1、OLS估计量的概率分布 B的概率分布 首先,服从正态分布的随机变量的线性组合仍然 服从正态分布。 其次,房分别是的线性组合,因此B的概率分 布取决于随机误差项 因此在是正态分布的假设下,每一个也 服从正态分布,其分布特征(密度函数)由其均值和方差唯 决定

j bˆ 分别是i 的线性组合，因此 j bˆ 的概率分 布取决于 随机误差项 。  因此在  是正态分布的假设下，每一个 也 服从正态分布，其分布特征（密度函数）由其均值和方差唯 一决定。 首先，服从正态分布的随机变量的线性组合仍然 服从正态分布。 其次， j bˆ 的概率分布 j bˆ 1、OLS估计量的概率分布

以一元为例 1、OLS估计量的概率分布 B,-N(B Bo-NBo B B和的标准差分别为: ∑

1 b i b i ˆ 以一元为例： ~ ( , ) ˆ 2 2 1 1  i N s b b ， ~ ( , ) ˆ 2 2 2 b 0 b 0 s   i i n x N 1、OLS估计量的概率分布  2 ˆ i x 1  s s b ＝ x  x  0 bˆ 和 1 bˆ 的标准差分别为：   2 2 ˆ n 0 i i x x  s s b ＝

2、随机误差项的方差σ2的估计 在估计的参数和B1的方差和标准差的表达式中,都含 有随机扰动项方差a2=var(1)。σ2又称为总体方差 由于a2实际上是未知的,因此B和B的方差与标准差实 际上无法计算 由于随机项μ1不可观测,只能从的估计——残差e出发, 对总体方差a2进行估计 可以证明:总体方差a2的无偏估计量为 e nk-1为残差的自由度 n-k-1

2 、随机误差项 的方差 2 s 的估计 在估计的参数 0 bˆ 和 1 bˆ 的方差和标准差的表达式中，都含 有随机扰动项方差 2 s =var( )  i 。 2 s 又称为总体方差 。 由于 2 s 实际上是未知的，因此 0 bˆ 和 1 bˆ 的方差与标准差实 际上无法计算。 由于随机项  i不可观测，只能从 i 的估计——残差 ei出发， 对总体方差 2 s 进行估计。 可以证明 ：总体方差 2 s 的无偏估计量 为 k-1 ˆ 2 2 - =  n ei s n-k-1为残差的自由度

总体方差的无偏估计量 =残差平方和/残差自由度 对于一元而言,总体方差的无偏估计量为 (P28页) n-2 ·对于多元而言,总体方差的无偏估计量为 (P40页) k-1 k为斜率或偏斜率系数的个数

总体方差的无偏估计量 ＝残差平方和／残差自由度 • 对于一元而言，总体方差的无偏估计量为 （P28页） • 对于多元而言，总体方差的无偏估计量为 （P40页） • k为斜率或偏斜率系数的个数。 2 ˆ 2 2 - =  n ei s k-1 ˆ 2 2 - =  n ei s

在总体方差σ2的无偏估计量2求出后,估计的参数B和 的方差和标准差的估计量就可以得出。以一元为例: 的方差:0 ∑ 的标准差:S B的方差:2=a2 E习 成的标准差:S 々N

在总体方差 2 s 的无偏估计量 2 sˆ 求出后，估计的参数 0 bˆ 和 1 bˆ 的方差和标准差的估计量 就可以得出。以一元为例： 1 bˆ 的方差： 1 bˆ 的标准差： 0 bˆ 的方差： 0 bˆ 的标准差：  2 2 2 ˆ ˆ ˆ i x 1  s s b ＝  2 ˆ ˆ i x S 1  s b ＝   2 2 ˆ n ˆ 0 i i x x S  s b ＝   2 2 2 2 ˆ n ˆ ˆ 0 i i x x  s s b ＝

3、t统计量的由来 B-B 1服从标准正态分布N(O,D 由于σ。无法求出,用S。代替,则 B; -B 1服从自由度为n-k-1的t分布

3、t统计量的由来 服从自由度为 的 分布 由于 无法求出，用 代替，则 服从标准正态分布 （，） n - k -1 t ˆ N 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j j j j S t S j j j j b b b b b b s s b b - = -

元模型中的统计量 服从标准正态分布NO,D 由于σ。无法求出,用S代替,则 B 服从自由度为n-2的t分布(=0,D

一元模型中的t统计量 服从自由度为 的 分布（ ） 由于 无法求出，用 代替，则 服从标准正态分布 （，） n - 2 t 0,1 ˆ N 0 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = - = - j j j j j S t S j j j j b b b b b b s s b b