青岛科技大学：《大学物理》课程教学资源（PPT课件）第十二讲 刚体定轴转动的应用

青岛科技大学 大学物理讲义

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例1一飞轮半径为02m、转速为150rmin1,因 受制动而均匀减速,经30s停止转动.试求:(1) 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数;(2)制动开 始后t=6s时飞轮的角速度;(3)t=6s时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 解(1)o=5πrads-,t=30s时,O=0. 设t=0s时,60=0.飞轮做匀减速运动 Q-0_0-5兀 C rad·S rad…s 30 飞轮30s内转过的角度 2 2 6 (5π =75πrad 20 2×(=兀/6 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 飞轮 30 s 内转过的角度 75π rad 2 ( π 6) (5π ) 2 2 2 0 2 =  − − = − =     0 1 2 rad s 6 π rad s 30 0 5π − −  = −  − = − = t    例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r·min-1 ， 因 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 . 解 （1） 5π rad s , 1 0 −  =  t = 30 s 时，  = 0. 设 t = 0 s时，  0 = 0.飞轮做匀减速运动

675丌 转过的圈数N===37.5r 2汇2 (2)t=6s时,飞轮的角速度 0=00+at=(5兀-×6rad.s-l=4rad (3)t=6s时,飞轮边缘上一点的线速度大小 7=rO=0.2×4兀m.s2=2.5m.s2 该点的切向加速度和法向加速度 a1=ra=0.2×(-)ms2=-0.105ms-2 an=r02=0.2×(4n)2m,s2=31.6m·s2 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 （2） t = 6s 时，飞轮的角速度 1 1 0 6)rad s 4π rad s 6 π (5π − −  = +t = −   =  （3） t = 6s 时，飞轮边缘上一点的线速度大小 2 2 0.2 4π m s 2.5 m s − − v = r =   =  该点的切向加速度和法向加速度 2 2 t )m s 0.105 m s 6 π 0.2 ( − − a = r =  −  = −  转过的圈数 37.5 r 2π 75π 2π = = =  N 2 2 -2 -2 0.2 (4 ) 31.6 n a r m s m s = =   =   

例2有一大型水坝高110m、长1000m,水深100m 水面与大坝表面垂直,如图所示.求水作用在大坝上的 力,及这个力对通过大坝基点Q且与x轴平行的力矩 da 张可y 解设水深h,坝长L,在坝面上取面积元dA=Ldy 作用在此面积元上的力 dF= po da= pldy 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 Q y O x 例2 有一大型水坝高110 m、长1000m，水深100m， 水面与大坝表面垂直，如图所示 . 求水作用在大坝上的 力，及这个力对通过大坝基点 Q 且与 x 轴平行的力矩 . 解 设水深h，坝长L，在坝面上取面积元 作用在此面积元上的力 dA = Ldy dF = pdA = pLdy y O h y x dA dy

h=100m L=1000m dF= pda= pld d 令大气压为P0,则 p=po+pg(h-y dF=lpo+ og(h-y) o F=LPo+ pgh-y)]Ldy=poLh+ pgLh 代入数据,得 F=591×10N 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 ( ) 0 p = p + g h − y 令大气压为 p0 ，则 dF [ p g(h y)]Ldy = 0 +  − 2 0 0 0 2 1 F [ p g(h y)]Ldy p Lh gLh h = +  − = +   代入数据，得 5.91 10 N 10 F =  dF = pdA = pLdy y O h y x dA dy h =100m L =1000m

h=100mZ=1000m dF=Lpo+pg(h-y)lldy dF对通过点Q的轴的力矩 dm= ydF dM=lpo + pg(h-Dlldy M=yPo +pg(h-y)lLdy po Lh+gpl 2 6 代入数据,得 M=2.14×102N.m 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 dM = ydF dM y[ p g(h y)]Ldy = 0 +  − 2 3 0 6 1 2 1 = p Lh + gLh  = + − h M y p g h y L y 0 [ 0  ( )] d 代入数据，得 2.14 10 N m 12 M =   F 对通过点 Q 的轴的力矩  d y O Q h y dy F  d dF [ p g(h y)]Ldy = 0 +  − h =100m L =1000m

例3一质量为m、长为l的均匀细长棒,求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 2 dr 1/2 解设棒的线密度为,取一距离转轴OO为 处的质量元dm= adr d=r2dm=r2dr l/2 J=22 r dr=-ni 如转轴过端点垂直于棒 0 ml al'r2dr=-mI 12 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 l O´ O 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元  r dm = dr  = l J r r 0 2  d dr 3 / 2 0 2 12 1 J 2 r dr l l =  =   2 3 1 = ml r dJ r dm r dr 2 2 = =  例3 一质量为 、长为 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 . m l dr −l 2 l 2 O´ O 2 12 1 = ml 如转轴过端点垂直于棒

例4一质量为m、半径为R的均匀圆盘,求通 过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量 解设圆盘面密度为O, 在盘上取半径为/,宽为dr 的圆环 圆环质量dm=O2πrdr 圆环对轴的转动惯量 dJ=r2dm=2兀or3dr而d=m/xR2 J=2丌or3d=R4 所以r1 mR2 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 O R O R 4 0 3 π 2 J 2π r dr R R  =  =  r dr 例4 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 . m R 解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 ，宽为 的圆环 r dr  2 而  = m π R 圆环质量 dm =2π rdr 2 2 1 所以 J = mR dJ r dm 2π r dr 2 3 = =  圆环对轴的转动惯量

例5质量为m)的物体A静止在光滑水平面上 和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为R、质 量为ml的圆柱形滑轮C,并系在另一质量为mlB的物 体B上.滑轮与绳索间没有滑动,且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计.问:(1)两物体的线加速度为多少? 水平和竖直两段绳索的张力各为多少?(2)物体B从 静止落下距离y时, A mAh C c 其速率是多少?(3) 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略,并设 它们间的摩擦力矩为 moB M再求线加速度及 绳的张力 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 例5 质量为 的物体 A 静止在光滑水平面上， 和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质 量为 的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物 体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩 擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体 B 从 mB mC 再求线加速度及 绳的张力. 静止落下距离 时， 其速率是多少？（3） 若滑轮与轴承间的摩 擦力不能忽略，并设 它们间的摩擦力矩为 M f y mA A B C mA mB mC

A 解(1)隔离物体分 N ②mC别对物体A、B及滑轮作 F 受力分析,取坐标如图, F运用牛顿第二定律、转 T 动定律列方程 mo B CFnI=mAa F 12 -nmod TI C B REY 卫2 rEm=J TI C 12 B Ra 青岛科技大学 大学物理讲义

青岛科技大学 大学物理讲义 A B C mA mB mC FT1  FT2   PA  O x FT1 FN   mA y O FT2   PB  mB FT1 = mA a mB g − FT2 = mB a RFT2 − RFT1 = J a = R 解 （1）隔离物体分 别对物体A、B 及滑轮作 受力分析，取坐标如图， 运用牛顿第二定律 、转 动定律列方程 . FT2  FT1   PC  FC 