《偏微分方程》第7章 特征理论

第7章特征理论偏微分方程组 ■7.1.1弱间断解与弱间断面 设!cRN(N≥2)是连通区域,在!上给定二阶线性 方程 d- dr.dx +∑ )-+a()a=f(x),(7.1.1) i=1 i=1 其中,a3(x),a(x),a(x)及f(a)是x的连续函数.另外,设 有中的N-1维超曲面S.它的方程是g(x)=0.S把9分 为两个不相交的区域1和!2(图7.1) 定义71.1若(x)∈C1(2nC2(1US)nC2(2US) 且在!1∪中满足方程(71.1),而且至少有u的一个二阶偏嶶 商在跨越S时,在S上处处有第一类问断,则称是方程(7.1.1) 的弱间断解,S叫作弱问断面

第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 7.1.1 弱间断解与弱间断面

第7章特征理论偏微分方程组 ■例子 考虑弦振动方程 工 x∈R,t>0 已知它的通积分是x,t)=F(x-at)+G(x+at),其中,F,G 是任意的二阶连续可微函数.若取G≡0,取 F(a-at) (x-at2-12,当|x-at≤1时 当|x-at|>1时, 刂(x不是古典解,但它是弱间断解

第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 例子 考虑弦振动方程 则 不是古典解，但它是弱间断解

第7章特征理论偏微分方程组 ■7.1.2特征方程与特征曲面 设光滑曲面國:2)=0(D2≠0是方程(7.1.1)的弱间断面。 可以推出它应满足的条件为下式在國上处处成立 N ∑a(x)D d do (7.1.4) i,j=1 定义7.1.2方程(7.1.4)叫做方程(7.11)的特征方程,若 在S上(71.4)式处处成立,则称S:(x)=0是(71.1)的特 征曲面;若在点x0处的方向(a1,a2,…,aN)满足 i(0 (7.1.5) 、j=1 则称该方向是方程(7.1.1)在x0点的特征方向

第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 7.1.2 特征方程与特征曲面 设光滑曲面 是方程（7.1.1)的弱间断面。 可以推出它应满足的条件为下式在 上处处成立

第7章特征理论偏微分方程组 ■方程特征曲面的例子 例7.1.1三维热传导方程 ut=a(urr +uyy+uzz) 例712RN(N≥2)中调和方程 ∑ k=1 例7.1.3二维波动方程 ulti Urr

第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 方程特征曲面的例子

第7章特征理论偏微分方程组 ■7.2方程组的特征理论 为书写简便,并能较直观地阐述问题,我们考虑两个自变量 的一阶线性偏微分方程组 m+∑m+∑吗+=01=1.2 ,…,m,(7.2.1) 其中,a3,b3,c2都是区域!中(x,t)的充分光滑的函数.若 引入m维列向量 和m×m维矩阵A=(a),B=(b3),则方程组(72.1)与下 列向量方程等价: Ut+AUr+ BU+C=0 (72.2)

第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 7.2 方程组的特征理论

第7章特征理论偏微分方程组 7.2.1弱间断解与特征线 定义72.1设有光滑曲线 x=x(),t=t(a),1≤σ≤2,且x2(o)+t2(a)≠0 (7.2.3) 它把区域!分为区域!1与2(见图7.1).若函数U在1与 内满足方程,在附近连续,但U的一阶偏嶶商至少有一个 在越过时处处有第一类间断,则称是U的弱间断线,U叫 做方程组(7.2.1)〔或(7.22)的弱间断解 (7.26 定理72.2若由(72.3)表示的曲线是方程组(72.1)或 (722)的解的弱间断线,则沿成立(7.2.6)

第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 7.2.1 弱间断解与特征线

第7章特征理论偏微分方程组 定义72.3称方程(726)是方程组(72.1)的特征方程; 满足(726)的方向 =A4x,t),i=1.2.…,m叫做方程 7.21)的特征方向;处处与特征方向相切的曲线叫做(721)的 特征曲线 定义72.4若方程组(721)在!内一点的特征方向(即A 的特征值)都是实的,则称方程鲤(72.1)在该点是双曲型方程 组,若它在Ω内每点都是双曲型的,就称它在!中是双曲型方 程组;进而若特征方向(即A的m个特征值)互异,称(72.1) 是狭义双曲型的.若(7.2.6)在Ω内一点或!内没有实的特征 方向,则称它在该点或!内是糖圆型方程组

第7章 特征理论 偏微分方程组

第7章特征理论偏微分方程组 例7.2.1考纂 cauchy- Riemann方程组 0 (7.27) +t=0 例722在静止气体中,设声波速度为(x.t),气体密度为 px,1,其中,x∈卫.则成立下面的声波方程组: t+一p2=0 (72.8 Pt+ Pour=0. 其中,和都是正的常数

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第7章特征理论偏微分方程组 7.2.2狭义双曲型方程组的标准型 在(722)中矩阵为实对角阵 a-1- A(=1,2,……,m)互异, 则(7.21)与(72.2)分别具有形式 du 72 ∥N+bn1+c=0.i=1,2,…,m 72.9) 和 Ut+AUr+ BU+C=0 (72.10) 我们称(72.9)(或(7.2.10)是狭义双曲型方程组的标准型

第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 7.2.2 狭义双曲型方程组的标准型

第7章特征理论偏微分方程组 将狭义双曲型方程化为标准型的方法: 1记(722)中A的m个相异特征值为入(xt,7=1,2 m不妨设 A1(x,t)<A2(x,t)<…<Mm(x,t) (72.11) 求向量方程AA=4的解 (1 mI 72 用T左乘(7.22)式得:

第7章 特征理论 偏微分方程组 ◼ 将狭义双曲型方程化为标准型的方法： ◼ 1. 求向量方程 的解。 2. 令， 用T 左乘（7.2.2）式得：