《偏微分方程》第2章 一阶拟线性方程

《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 2.1 般理论 2.1.1特征曲线与积分曲面 一阶拟线性方程具有形式 a(, y, u)ux+b(, y, u)uy =c(a, y, u), (2.1.2) 其中,=(x,y).称方向(a(x,v,2),b(x,y,2),c(x,y,2))是 方程(2.1.2)的特征方向,它在R3或R3中的区域!上定义了 个向量场.我们称处处与方向(a,b,c)相切的曲线是方程(2.12) 的特征曲线.设特征曲线的参数式为 =x(t),y=v(t),2=2(t),t∈R或R中某区间

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《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 则沿特征曲线显然成立下式: dr dz a(x,y,2)b(x,y,2)c(x,3,2) 即 da da dz dt =a(x,,2), dt =b(x,y,2), dt =c(x,y,2).(2.1.3) 称上式是方程(2.1.2)的特征方程.由(2.1.2)可知,积分曲面 2=(x,y)(即(21.2)的解)就是处处与特征方向相切的曲面 特征曲线与积分曲面有下述关系: 定理2.1.1若特征曲线γ上一点P(x0,0,20)位于积分曲 面S:2=(x,y)上,则γ整个位于S上

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《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 由积分曲面的定义知,过积分曲面上每一点有一条特征曲线 于是,根据此定理,该特征曲线完全位于积分曲面内,所以积分 曲面S是特征曲线的并,即过S上每一点都有一条包含在S中 的特征曲线.反之,如果曲面S:z=u(x,y)是特征曲线的并, 则它必是积分曲面

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《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 2.1.2初值问题 以上的讨论使我们对拟线性一阶方程(21.2)的通解有一个 形象的认识,即积分曲面是特征曲线的并.以此为基点,讨论方程 (2.12)的初值问题(也叫 Cauchy问题).同常微分方程一样,它 是一阶方程的基本问题 设有空间曲线 :(x,y,2)=(f(s),g(s),h(s)),s是参数 则方程(2.1.2)的初值问题的提法是:求方程(2.1.2)的解z= (x,y),使满足h(s)≡w(f(s),9(s),即积分曲面过已知曲线

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《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 则方程(21.2)的初值问题的提法是:求方程(2.1.2)的解2= (x,y),使满足h(s)≡(f(s),9(s),即积分曲面过已知曲线7 在许多情形,变量y表示时间变量,而x是空间变量.于是提出 y=0时刻的初值u(x,0)=h(x),而寻求满足此初始条件的方程 (2.1.2)的解是一个常见且自然的初值问题.这时,空间曲线的 参数式是x=s,y=0,2=h(x),即曲线在x2平面上,且以x 为参数

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《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 我们要证明:在Y的邻域中,方程(2.1.2)的初值问题的解 存在唯一.因为γ可以被位于其上的多个有限长开弧所覆盖,若 在每个开弧附近得到解的存在唯一性,则所证必然成立.故只须 证明下述定理成立: 定理2.1.2设曲线γ:(x,v,2)=(f(s),g(s),h(s)光滑, 且f2+g2≠0,在点Pb=(x0,v0,20)=(f(s0),9(s0),h(so)) 处行列式 g(so a(o, y0, 20) b( o, 0,30)/≠0 (2.1.5) 又设a(x,y,2),b(x,3,2),c(x,y,2)在γ附近光滑.则初值问题 a(, y, u)ux +b(, y, uuy =c(, y,u (2.1.6) (f(s),9(s))=h(s) 在参数S=80的一邻域内存在唯一解,称这样的解为局部解

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《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 例21.1已知曲线:x=s,y=8,2=2,0<8<1 求解初值问题 l=号 4y-2 r-v i r 0)=-2(2-y) 若将此例方程的右端项改为零,初始曲线改为 Y2=s, y 则就是著名数学家R. Courant和K.O. Friedrichs在1948年 发表的研究超音速流和激波的论文中提到的方程(习题的第1(a) 题).它的解=a(x,y)可以解释为x轴上随时间y变化的速度 场,而方程表示每一个质点均有零加速度,从而有常速度

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《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 下面的例子在第8章中证明著名的 Cauchy- Kovaleyska 定理时将会用到 例2.12设P,C,N,是常数,求解初值问题 (p-y-Nn)=cNn物+ey<p u(0,y)=0. 2=u(, -p2-2cN(n+1)r N(n+1) (21.23)

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《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 下面的例子分析方程系数的奇性对解的影响,以及当初始曲 面取为特征曲面时,解的唯一性将不再成立 例2.15考察问题 xux+tut=cu,x∈R1,t≥0 2.1.25 (x,1)=f(x), 其中,C是常数

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《偏微分方程》第2章一阶拟线性方程 22传输方程 在一阶线性方程中,有一种最简单的形如 at+b·Da=0,x∈R,t∈(0,∞)(2.2.1) 的方程,称为传输方程,其中,b=(b,b,…,bn)是已知m维 常向量,=a(x,t),Da=(m1, alxn).它和 Laplace

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