高职：《数学基础》第四章 导数的应用 4.2 最大值最小值及在最优化中的应用

§4-2最大值,最小值 及在最优化中的应用

§4-2最大值,最小值 及在最优化中的应用

复习旧知识: 1、八x0)是函数fx)的一个极大值这 概念是怎样叙述的? 2、fx)是函数f(x)的一个极小值这 概念是怎样叙述的? 3、求函数的极值的步骤是哪四步?

复习旧知识： 1、 f(x0 )是函数f(x)的一个极大值这 一概念是怎样叙述的？ 2、 f(x0 )是函数f(x)的一个极小值这 一概念是怎样叙述的？ 3、求函数的极值的步骤是哪四步？

f(o) ysf(r) fC

0 x y a b x 0 y=f (x ) f (x 0 ) f ( b )

函数的最大值与最小值 定义:设f(x)是区间[a,b上的连续函数,如果 存在点x∈a,b,使得对于所有x∈a,b,都有 fx)sfxo)(或fx)≥xo),则称 八xo)是函数fx)在an上的最大值(或最小值) 最大值和最小值统称最值

一、函数的最大值与最小值 定义: 设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，如果 存在点x0∈[a,b]，使得对于所有x∈[a,b]，都有 f(x)≤f(x0 )（或f(x)≥f(x0 )），则称 f(x0 )是函数f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）。 最大值和最小值统称最值

最大值f(b) y=f(x) 最小值f(x) 可以看出,函数在区间a,b上的最大值和最小值要么是区间 端点的函数值,要么是极值 而极值点又包括在驻点中,因此我们只要把驻点的函数值及区 间端点的函数值都求出来,放在一起比较大小,就能找出最大 值和最小值来。最大值和最小值统称最值

0 x y a b x0 y=f (x) f (x0 ) 最大值 f (b) 最小值 可以看出,函数在区间[a ,b]上的最大值和最小值要么是区间 端点的函数值，要么是极值。 而极值点又包括在驻点中，因此我们只要把驻点的函数值及区 间端点的函数值都求出来，放在一起比较大小，就能找出最大 值和最小值来。最大值和最小值统称最值

求函数最值的一般方法: 先求出(x)在|a,b内的所有驻点 (或不可导但连续的点), 将这些点的函数值与区间端点的 函数值f(a),f(b)进行比较, 其中最大(小)的就是函数在区 间ab上的最大(小)值

求函数最值的一般方法： 先求出f(x)在[a,b]内的所有驻点 （或不可导但连续的点）， 将这些点的函数值与区间端点的 函数值f(a),f(b)进行比较， 其中最大（小）的就是函数在区 间[a,b]上的最大（小）值

例1:求函数f(x)=x3-3x2-9x+3区间[4,4]上 的最值 解:f(x)=3x 6x-9=3(X+1)(x-3) 令∫(x)=0解之得驻点x1= 驻点函数值f(-1)=35f(3)=3端点函数值 f(-4)=-46f(4)=10 比较以上函数值的大小,可得 函数的最大值为f(-1)=35最小值为f(-4)=-46

例1：求函数 在区间[-4 ，4]上 的最值 解： 令 ，解之得驻点 驻点函数值 端点函数值 比较以上函数值的大小，可得 函数的最大值为 最小值为 ( ) 3 9 30 3 2 f x = x − x − x + ( ) 3 6 9 3( 1)( 3) 2 f  x = x − x − = x + x − f (x) = 0 1 3 1 2 x = − x = f (−1) = 35 f (3) = 3 f (−4) = −46 f (4) = 10 f (−1) = 35 f (−4) = −46

注:如果连续函数fx)在区间(有限或无限, 开或闭)内只有一个驻点x,而这个驻点又是极值 点,那么,当x)是极大值时,它就是最大值;当 f(x0)是极小值时,它就是最小值

注：如果连续函数f(x)在区间（有限或无限， 开或闭）内只有一个驻点x0，而这个驻点又是极值 点，那么，当f(x0 )是极大值时，它就是最大值；当 f(x0 )是极小值时，它就是最小值。 y a x0 b x o x a x0 b o

练习: 习题15-2第题 ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●0●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

练习: 习题15-2 第 题

■■■■■ 、函数最值应用问题举例 ■■■■■■■■■會■_■■■■■■■口■■■■■■■■■■口■■■ 在工农业生产,科学技术研究和经营管理中 常常会遇到在一定条件下,怎样使用料最省, 产量最多,成本最低,效益最大等最优化问题 这些问题通常可以用数学上求函数的最大值或 最小值的办法来解决 下面的实际应用问题,我们曾经建立过它 的数学模型

二、函数最值应用问题举例 在工农业生产，科学技术研究和经营管理中， 常常会遇到在一定条件下，怎样使用料最省， 产量最多，成本最低，效益最大等最优化问题。 这些问题通常可以用数学上求函数的最大值或 最小值的办法来解决。 下面的实际应用问题，我们曾经建立过它 的数学模型