微积分：二重积分的计算

分的對算

复习 利用二重积分定义计算二重积分 f(x,y)dcy=lim∑f5,m)△a 0 i=1 R

利用二重积分定义计算二重积分 复习: i i n i i f     =   = → lim ( , ) 1 0 ( ) .  , R f x y dxdy

1、引例 设函数f(x,y)≥0, 积分区域R:由 x=a,x=b,y=9(x),y=2(x) ≤x≤组成的区域,求(x,y)Mdy

a x b z y x ( ) 1 y =  x ( ) 2 y =  x z = f (x, y) A(x) 1、引例 1 2 ( , ) 0, : , , ( ), ( ) ( , ) R f x y R x a x b y x y x a x b f x y dxdy    = = = =    设函数 积分区域 由 ， 组成的区域，求

z=f(x,y) 截面面积为 4(x)=2f(x,y)d 所以 0(x)=92(x) b b rpl) Ifer, ydxdy=A()dx f(aD)dyad a plx 称为先y、后对x的二次积分

f(x.y dy dx b a (x) (x) [ ) ] 2 1   =     = D b a f(x,y)dxdy A(x)dx 所以： y Z (x) 1 (x) 2 z = f (x, y) =  ( ) ( ) ( ) ( , ) x x A x f x y dy 2 1   截面面积为： 称为先y、后对x的二次积分

说明: 1式中,偎定f(x,y)≥0,实际不受此条件 限制 p2( (2)引例中的积分区域如右图 q1(x) 我们称之为X一型 X型区域的特点穿R内部的垂直于x轴 的直线与区域边界的交点不多于两个

说明： （ ）上式中，假定 ，实际不受此条件 1 ( , ) 0 f x y  限制。 ( ) 2 y =  x a b D ( ) 1 y =  x 2 X （ ）引例中的积分区域如右图 我们称之为 —型。 X型区域的特点：穿R内部的垂直于X轴 的直线与区域边界的交点不多于两个

安置积分限的方法 ①1)将R投影到x轴上,得到x的范围,a≤x≤b。 (2)在(a,b)内任取一点x,通过此点作x轴的垂线和 两条边界线的交点为9(x)=92(x) a<x<b q1(x)≤y≤q2(x) b f(x, y)dxdy dx 2(x)c/ f(, v)di 91(x) R

1 2 : ( ) ( ) a x b R   x y x        2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b x a x R f x y dxdy dx f x y dy   =    （ ）将 投影到x轴上，得到x的范围，a 。 1 R x b   安置积分限的方法 (2)在（a,b）内任取一点x,通过此点作x轴的垂线和 两条边界线的交点为   1 2 ( x x ) = ( )

3)类似的可以定型 x=(y) Y型区域的特点:穿R内部的垂直于Y 轴的直线与区域边界的交点不多于两个

（3）类似的可以定义Y—型 Y—型区域的特点：穿R内部的垂直于Y 轴的直线与区域边界的交点不多于两个。 ( ) 2 x =  y ( ) 1 x =  y D c d

安置积分限的方法 (1)将R投影到y轴上,得到y的范围,C≤y≤da (2)在c,d任取一点y,通过此点作y轴的垂 线和两条边界线的交点为v(y)2v2(y)为x的范围 y1(y)≤x≤v2(y) Csy≤d (y)sx≤v2(y) d y2(y) f(x, y)dxdy= dy (x, y)dx VI(v)

2 2 1 2 [ , ] ( ), ( ), ( ) ( ) R y d c d y y x y x y         1 1 （ ）将 投影到y轴上，得到y的范围，c 。 （ ）在 内任取一点y，通过此点作y轴的垂 线和两条边界线的交点为 为 的范围 。 1 2 : ( ) ( ) c y d R   y x y        2 1 ( ) ( ) ( , ) ( , ) d y c y R f x y dxdy dy f x y dx   =    安置积分限的方法

(4)既是X型又是Y型的区域 d a b /(y b ro2(x) d rv2(y) fdy a Jo(r) (y)

(4)既是X—型又是Y—型的区域 x y O R a b d c ( ) ( ) 2 ( ) 1 , b x a x R f x y dxdy fdy dx     =        ( ) 2 ( ) 1 d y c y fdx dy     =      

(5)既不是入型也不是Y型的区域

. 1 2 3     = + + D D D D D3 D2 D1 0 （5）既不是X—型也不是Y—型的区域