湖南商学院：《概率论》课程教学资源（PPT课件）第一章 概率论的基本概念（1.5）事件的独立性

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湖南商学院信息系 数学教研室 第一章第五节 事件的独立性

两事件的独立性 先看一个例子: 将一颗均匀骰子连掷两次, 设={第二次掷出6点}, B={第一次掷出6点} 显然P(4B)=P(A)。 这就是说:已知事件B发生,并不影响 事件A发生的概率,这时称事件A、B独立。 回回

显然 P(A|B)=P(A)。 这就是说：已知事件B发生，并不影响 事件A发生的概率，这时称事件A、B独立。 一、两事件的独立性 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设

由乘法公式知,当事件A、B独立时,有 PLAB)=P(A)P(B) P(AB)=P(B)P(AIB) 用P(AB)=P(4)P(B)刻划独立性,比用 P(AJB)=P(A)E P(BA)=P(B) 更好,它不受P(B)>0或P(4)>0的制约。 回回

由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B)。 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性，比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好，它不受P(B)>0或P(A)>0的制约。 P(AB)=P(B)P(A|B)

两事件独立的定义 若两事件A、B满足 P(AB)=P(A)P(B) (1) 则称A、B独立,或称A、B相互独立 回回

若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B独立，或称A、B相互独立。 两事件独立的定义

例1:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立? 解:由于P(4)=4/52=1/13, P(B)=26/52=12, P(AB)=2/52=1/26。 可见,P(AB)=P(A)P(B) 说明事件A、B独立 回回

例1： 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。 可见, P(AB)=P(A)P(B)。 由于 P(A)=4/52=1/13, 说明事件A、B独立。 问事件A、B是否独立？ 解： P(AB)=2/52=1/26。 P(B)=26/52=1/2

前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的,也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到码},B={抽到的牌是黑色的} 由于P(4)=1/13,P(4|B)=2/26=1/13, P(4)=PA|B),说明事件A、B独立。 在实际应用中,往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立 回回

前面我们是根据两事件独立的定义作 出结论的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}。 在实际应用中, 往往根据问题的实际意 义去判断两事件是否独立 。 由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13， P(A)= P(A|B), 说明事件A、B独立

在实际应用中往往根据问题的实际意义 去判断两事件是否独立 例如: 这 甲、乙两人向同一目标射击,记A={甲命中}, B={乙命中},A与B是否独立? 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的 概率,故认为A、B独立。 (即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率) 回回

在实际应用中,往往根据问题的实际意义 去判断两事件是否独立。 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的 概率，故认为A、B独立。 甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ 例如： (即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率)

又如:一批产品共n件,从中抽取2件,设 A={第i件是合格品},=1,2 若抽取是有放回的,则A1与A2独立。 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响。 若抽取是无放回的,则A1 与A2不独立。 因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响 回回网

一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品}， i=1,2。 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。 因为第二次抽取的结果受到 第一次抽取的影响。 又如： 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响。 若抽取是无放回的，则A1 与A2不独立

请问:如图的两个事件是独立的吗? 我们来计算:P(AB)=0, 而P(4)≠0,P(B)0 即P(AB)≠P(A)P(B) 故A与B不独立 即:若A、B互斥,且P(4)>0,P(B)>0, 则A与B不独立。 反之,若A与B独立,且P(4)>0,P(B)>0 则A、B不互斥 回回

请问：如图的两个事件是独立的吗？ A B 即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则A与B不独立。 反之，若A与B独立，且P(A)>0, P(B)>0, 则A 、B不互斥。 而P(A) ≠0, P(B) ≠0。 故 A与B不独立。 我们来计算：P(AB)=0, 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)

问:能否在样本空间g中找两个事件,它们 既相互独立又互斥? 这两个事件就是9和p 因为g=如, P(92小)=p(g2)·P(p)=0, 所以,屿9独立且互斥。 不难发现,些任何事件都独立 回回

问：能否在样本空间Ω中找两个事件,它们 既相互独立又互斥? 这两个事件就是Ω和 。 所以，  与Ω独立且互斥。 因为  = , 不难发现，  与任何事件都独立。  P() = p() P() = 0