温州大学：《高等代数》课程教学资源（PPT课件）第三章 线性方程组（3.2）n维向量空间

§3.2n维向量空间

§3.2 n维向量空间

、向量空间的定义和例子 向量与向量空间对我们并不陌生,在解几中,我们已经讨 论过二维和三维向量空间中的向量 在那里,两个向量相加可以按平行四边形法则相加,若向 量用坐标表示,则两个向量相加转化为对应坐标相加,数与向 量相乘变为数与向量的每个坐标相乘,由此可抽象出一般向量 的定义。 定义3.2.1:数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 有序数组: 1,a2,…,an 其中a称为向量的第个分量 几何上的向量是n维向量的特殊情况,虽然η维向量当n>4 时没有直观的几何意义,但仍然把它称为向量。一方面它包含 通常的向量作为其特例,另一方面它与通常的向量有许多共同 的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,V,表示向量。有了 向量,一个方程a1x+a12x2+…+ ax=b就可以用一个n+1 第三章线性方程组

第三章 线性方程组 一、向量空间的定义和例子 向量与向量空间对我们并不陌生，在解几中，我们已经讨 论过二维和三维向量空间中的向量。 在那里，两个向量相加可以按平行四边形法则相加，若向 量用坐标表示，则两个向量相加转化为对应坐标相加，数与向 量相乘变为数与向量的每个坐标相乘，由此可抽象出一般向量 的定义。 定义3.2.1：数域F上一个n维向量就是由F中n个数组成的 有序数组： (a a a 1 2 , , , n ) 其中 i a 称为向量的第i个分量。 几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含 通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同 的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 向量，一个方程 i i in n i 1 1 2 2 a x a x a x b + + + = 就可以用一个n+1

元向量来表示:(an2a2…an2b) 向量的相等:如果两个n维向量a=(a1,a2…an),B=(b,b2…b 的对应分量都相等,即a=b,i=1,2,…n,则 称这两个向量相等,记为a=B 向量的和:向量y=(a1+b,a2+b2…an+b)称为向量 C=(a12a2 a)与B=(b,b2…,b)的和,记为r=a+阝。 零向量:分量全为零的n维向量:(030…0)称为零向量。 负向量:向量(a1a2…称为向量a=(a2a2…an)的负向 量,记为-α 向量的数量乘积:设∝=(aa2…an),k∈F,则称向量 (ka1,ka2,…,kan)为向量a与数k的数量乘积, 记为kQ。 向量的减法:aβ=a+(β)。 第三章线性方程组

第三章 线性方程组 元向量来表示： (a a a b i i in i 1 2 , , , , ) 向量的相等：如果两个n维向量   = = (a a a b b b 1 2 1 2 , , , , , , , n n ) ( ) 的对应分量都相等，即 , 1, 2, . i i a b i n = = ，则 称这两个向量相等，记为   = 向量的和：向量  = + + + (a b a b a b 1 1 2 2 , , , n n ) 称为向量  = (a a a 1 2 , , , n ) 与  = (b b b 1 2 , , , n ) 的和，记为 r=α+β。 零向量：分量全为零的n维向量： (0,0 ,0) 称为零向量。 负向量：向量 (− − − a a a 1 2 , , , n ) 称为向量  = (a a a 1 2 , , , n ) 的负向 量，记为-α。 向量的数量乘积：设  =  (a a a k F 1 2 , , , , n ) ，则称向量 (ka ka ka 1 2 , , , n ) 为向量α与数k的数量乘积， 记为kα。 向量的减法：α-β=α+（-β）

向量的加法满足以下四条运算规律: 1、交换律:α+β=β+a; 2、结合律:(α+β)+y=a+(β+Y) 3、有零元:a+0=α,Va; 4、有负元:+-a=0,Va。 向量的数乘满足以下四条运算规律: 分配律:k(a+B)=ka+kB 2、分配律:(k+1)a=ka+la 3、结合律:k(la)=(kDa 4、有单位元:l=a。 第三章线性方程组

第三章 线性方程组 向量的加法满足以下四条运算规律： 1、交换律：α+β=β+α； 向量的数乘满足以下四条运算规律： 1、分配律： k( +  ) = k + k ； 2、分配律： (k + l) = k + l ； 3、结合律： k(l) = (k l) ； 4、有单位元 ： 1 = 。 2、结合律：（α+β）+γ=α+（β+γ）； 3、有零元：α+ 0 =α，  ； 4、有负元：α+ = 0 −a ， 

如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容,只讨论那 些与运算有关的性质,则可以抽象出向量空间的公理化定义 定义3.2.2:F是一个数域,V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体,考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律,称V为F上的n维向量空 间,记为Fn。 由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、0·c=0; 2、(-1)a==a 3、k.0=0; 4、若k≠0.c≠0,则k·c≠0。 第三章线性方程组

第三章 线性方程组 如果我们不考虑研究对象的具体性质和内容，只讨论那 些与运算有关的性质，则可以抽象出向量空间的公理化定义。 定义3.2.2：F是一个数域，V是以F中的数为分量的n维 向量组成的全体，考虑上面定义的向量加法和数量乘积。其 加法和数乘分别满足以上四条规律，称V为F上的n维向量空 间，记为 F n 。 由向量的加法和数乘可以推出以下性质: 1、 0 0  =  ； 2、 (−  = − 1)   ； 3、 k  =0 0 ； 4、若 k   0, 0  ，则 k    0

向量可以写成:a=(a,a2…an) 也可以写成:a 前者称为行向量,后者称为列向量。列向量常写成: C 152 第三章线性方程组

第三章 线性方程组 向量可以写成：  = (a a a 1 2 , , , n ) ， 1 2 , n a a a        =       也可以写成： 前者称为行向量，后者称为列向量。 1 2 ( , , , ) n  = a a a  列向量常写成：