《偏微分方程》第8章 广义函数与基本解

第8章广义函数与基本解 81基本空间 8.1.1引言 偏微分方程的古典理论对解的光滑性要求过高,这不仅 仅常常不合实际问题的要求,而且影响理论的进一步发展 我们希望对一般的方程及定解问题统一地扩充解地概念。这 首先需要扩充函数地概念。 · Fourier变换是求解偏微分方程诸多问题的有力工具。但 是能做此变换的函数是不多的。我们希望扩广它的使用 范围,从而需要扩充函数的概念 当物理学家Dac为了量子力学的需要引入函数() 时 数学和物理的紧密关系便出现了裂痕

第8章 广义函数与基本解 • 8.1 基本空间 8.1.1 引言 • 偏微分方程的古典理论对解的光滑性要求过高，这不仅 仅常常不合实际问题的要求，而且影响理论的进一步发展。 我们希望对一般的方程及定解问题统一地扩充解地概念。这 首先需要扩充函数地概念。 • Fourier变换是求解偏微分方程诸多问题的有力工具。但 是能做此变换的函数是不多的。我们希望扩广它的使用 范围，从而需要扩充函数的概念。 • 当物理学家Dirac为了量子力学的需要引入函数 时， 数学和物理的紧密关系便出现了裂痕

第8章广义函数与基本解 物理学家原本定义的5函数是这样的“函数” 0,x≠0 8.1.1 d(a)d z= 8.1.2) 由通常的函数的定义,(81.1)式不是函数;由 Lebesgue积分的 概念,(8.1.1)与(8.1.2)矛盾.但从物理的观点看,(x)的意义 十分明确,它表示质量等于1个单位的质点置于x=0处(其它 处无质量)时,沿x轴的密度分布函数

第8章 广义函数与基本解 物理学家原本定义的 函数是这样的“函数”：

第8章广义函数与基本解 物理学家在20世纪30年代就广泛使用函数讨论 问题,并获得相当的成功。直到20世纪40年代末, Schwarz等人建立了广义函数基础理论,才为这类奇异 “函数”建立了严格的数学理论。仅从以上三个方面看 扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的 定义

第8章 广义函数与基本解 物理学家在20世纪30年代就广泛使用 函数讨论 问题，并获得相当的成功。直到20世纪40年代末， Schwarz等人建立了广义函数基础理论，才为这类奇异 “函数”建立了严格的 数学理论。仅从以上三个方面看， 扩充函数概念是很有必要的。下面我们给出广义函数的 定义

第8章广义函数与基本解 ·8.1基本空间 8.1.1引 定义8.1.1称确定在某些具体的画数空间上的线性连续泛 画为广义函数,这些具体的函数空间叫基本空间.形如(8.1.4)的 广义函数,即通过一个积分建立的广义函数,叫正则广义函数, 其它的叫奇异广义画数. 附注奇异广义函数是存在的.例如δ函数.设原点在区域 内.6(x)函数的定义是 6(x),2(x)=y0).w∈C( (8.1.5)

第8章 广义函数与基本解 • 8.1 基本空间 8.1.1 引言

第8章广义函数与基本解 r=(x1,x2,…,xN)∈R,=(1,52,…,EN)∈R都 是N维自变量 a=(a1,a2,…,aN)是多重指标,其中,a(2=1.2,…,N) 是非负整数; =a1+a2+……+aN, 1c2 a N 2…s x2=∑n2,x5=x161+x22+…+xN N:E N,符号D2 N 在自变量比较明显的情况下,常常省去D2和D的下标而 简记为D,把D2,和D,写作D

第8章 广义函数与基本解 2. 记号

第8章广义函数与基本解 12基本空间职以和B(Ry 首先考虑的基本空间是便即具有紧支集 的无限次可微函数组成的空间。所谓一个函数 f(x)的支集,是指集合{x∈RN|f(x)≠0的闭包, 记作酬f(在c(叹收敛概念如下

第8章 广义函数与基本解 • 1.2 基本空间 和 首先考虑的基本空间是 即具有紧支集 的无限次可微函数 组成的空间。所谓一个函数 f(x) 的支集，是指集合 的闭包， 记作 在 中定义收敛概念如下：

第8章广义函数与基本解 定义8.1.2如果函数列{≌n(x)}<Cδ(RN),且馮足条件 (1)存在紧集K,使得stgn(x)CK,n=1,2,…; (i)对任意多重指标a,成立 lim sup D°yn(x)=0 nx∈K 则称函数列{n(x)}在C(RN)中收敛于零,记为yn(x)→ 09),若n(x)-(x)→09),则称yn(x)→g(x)(9).赋予 这种收敛概念的空间CG(RN)叫作基本空间身(畎N)简记为基 本空间9 例8.1.1第5章53节中所述的函数n(x)∈9n(x)∈9

第8章 广义函数与基本解

第8章广义函数与基本解 利用ne(x)可以得到许多分中的函数例如,设u(x)是RN 中局部可积函数,定义 (u ne(a-y)dy 则v(x)∈Cx(N).进而若(x)有紧支集,则t(x)∈9 例8.12设B>1,xn(x)是RN中球BR=Bn(0)的特 征函数,即 1,|x|≤R R > R r(z-tn(t) IRA XR(t)na-t)dt x-t≤1

第8章 广义函数与基本解

第8章广义函数与基本解 定义81.3设{n()}<C(RN).如果在任一紧集K 上有 lim sup|D°yn(x)→0.V多重指标a →∞0 x∈K 则称函数列{n(x)}在C∝(畎N)中收敛于零,记为n(x)→ 0(6),如果yn(x)-(x)→0(6),则称n(x)→9()(6).我 们称赋予这种收敛概念的空间C(RN)为基本空间6(RN),简 记为

第8章 广义函数与基本解

第8章广义函数与基本解 附注易知圆中的收敛性比中的收敛性强,反之未必 对。例如可取为例81.1中的函数,并定义 xN),m=1,2, 易证1n→0(6),但n+0(9F 定义8.1.4设基本空间(或下文的广义函数空间)AcB 若{n}cA,n→0于A中,则必有In→0于B中,就 称A连续嵌入B,记为A→B.其中,恒等算子叫做嵌入算 子 定理8.1.56,且身在6中稠密

第8章 广义函数与基本解 • 附注 易知 中的收敛性比 中的收敛性强，反之未必 对。例如可取为例8.1.1中的函数，并定义 易证