高职：《数学基础》第十二章 概率与统计 12.3 随机变量及分布

s123 随机变量及分布

2003 3 7 概率与统计 1 §12-3 随机变量及分布

§12-3随机变量及分布 随机变量的概念 例1:五台电冰箱中有2台是优质品,从中任取3台,考 察取到的3台含有优质品台数的各种可能性。 方法1:取到的优质品台数有三种情况,可以用三个事 件来表示。 0 A=3台中没有合优质品}P(4)=2 0 B={3台中恰有1台优质品}P(B)= 2C3=06 C=3台中恰有2台优质品P(C=<2·C =0.3 200337 概率与统计 2

2003 3 7 概率与统计 2 §12-3 随机变量及分布 一、随机变量的概念 例1：五台电冰箱中有2台是优质品，从中任取3台，考 察取到的3台含有优质品台数的各种可能性。 方法1：取到的优质品台数有三种情况，可以用三个事 件来表示。 A={3台中没有1台优质品} B={3台中恰有1台优质品} C={3台中恰有2台优质品} ( ) 0.1 3 5 2 3 0 2 =  = C C C P A ( ) 0.6 3 5 2 3 1 2 =  = C C C P B ( ) 0.3 3 5 1 3 2 2 =  = C C C P C

方法2:用字母5表示取到的优质品台数。 2=0}=3台中没有1台优质品}P(=0)=0.1 9=1}={3台中恰有1台优质品}P(=1)=0.6 5=2}={3台中恰有2台优质品}P(5=2)=0.3 例2:某车间有5台车床彼此独立地工作,由于工艺原 因,每台车床实际开动率为08,求任一时刻,5台车床 中开动台数的各种可能结果的概率。并求 (1)5台车床中恰有4台开动的概率。 (2)5台车床中至少有1台开动的概率 200337 概率与统计

2003 3 7 概率与统计 3 方法2：用字母 表示取到的 优质品台数。则 { =0}= {3台中没有1台优质品} P( =0)=0.1 { =1}= {3台中恰有1台优质品} P( =1)=0.6 { =2}= {3台中恰有2台优质品} P( =2)=0.3        例2：某车间有5台车床彼此独立地工作，由于工艺原 因，每台车床实际开动率为0.8，求任一时刻，5台车床 中开动台数的各种可能结果的概率。并求 （1）5台车床中恰有4台开动的概率。 （2） 5台车床中至少有1台开动的概率

解:设为开动的车床台数。 P(=0)=C3.0.80.0.23=0.0002 P(=1)=C50.8.024=00064 P(5=2)=C30.820.2=00512 P(5=3)=C3:0.80.2=02048 P(5=4)=C4 0.84.0.2=04096 P(5=5)=C30.820.2=0.32768 上述各式也可用一个表格来整体表示 200337 概率与统计

2003 3 7 概率与统计 4 解：设  为开动的车床台数。 ( 0) 0.8 0.2 0.00032 0 0 5 P  = = C5   = ( 1) 0.8 0.2 0.0064 1 4 P  = = C5   = ( 2) 0.8 0.2 0.0512 2 2 3 P  = = C5   = ( 3) 0.8 0.2 0.2048 3 3 2 P  = = C5   = ( 4) 0.8 0.2 0.4096 4 4 P  = = C5   = ( 5) 0.8 0.2 0.32768 5 5 0 P  = = C5   = 上述各式也可用一个表格来整体表示

开动的车床台数的分布 0 23 4 0.000320.00640.05120.20480.40960.32768 还可更简洁地表示为 (5=K)=C50.8.0.2 5-k (k=0,2,…5) (1)P(=4)=0.4096 2) (2≥1)=P(2=1)+P(=2)+P(5=3)+P(=4)+P(5=5) 0.0064+0.0512+0.2048+04096+0.32768=0.99968 或=1-P(2=0)=1-0.00032=09998 200337 概率与统计

2003 3 7 概率与统计 5 0 1 2 3 4 5 Pk 0.00032 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.32768 开动的车床台数  的分布  还可更简洁地表示为 ( ) 0.8 0.2 ( 0,1,2, 5) 5 P  = K = C5 K  k  −k k =  （1） （2） P( = 4) = 0.4096 1 ( 0) 1 0.00032 0.99968 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.32768 0.99968 ( 1) ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5) = − = = − = + + + + =  = = + = + = + = + =        P P P P P P P 或

定义:用其取值来表示随机事件的变量 叫做随机变量。通常用5,7,X等来表示。 离散型随机变量及其概率分布 1、离散型随机变量 随机变量ξ的一切可能取值为有限个或可列个,则称 之离散型随机变量。 定义:设离散型随机变量的一切可能取值为 Xk(k=1,2,3.,其对应的概率 Rk=P(5=Xk)(k=1,23…) 叫做ξ的概率分布。 上述分布也可列成表,叫做ξ的分布列。 200337 概率与统计

2003 3 7 概率与统计 6 定义：用其取值来表示随机事件的变量 叫做随机变量。通常用 ,, X 等来表示。 二、离散型随机变量及其概率分布 1、离散型随机变量 随机变量 的一切可能取值为有限个或可列个，则称 之离散型随机变量。  定义：设离散型随机变量 的一切可能取值为 Xk (k=1,2,3…),其对应的概率  P = P( = X ) (k =1,2,3) k  k 叫做 的概率分布。 上述分布也可列成表，叫做 的分布列。  

XIA 分布列有性质:0≤B≤1B=1 2、几种常见的离散型随机变量的概率分布 (1)两点分布 例3:某批产品的正品率为095,任取一件来检验, 求其取得的正品数的概率分布。 解:设5为取得的正品数,的分布列为 0.05 0.95 200337 概率与统计

2003 3 7 概率与统计 7 x1 x2 x3 … xk … Pk P1 P2 P3 … Pk …  2、几种常见的离散型随机变量的概率分布 （1）两点分布 例3：某批产品的正品率为0.95,任取一件来检验， 求其取得的正品数的概率分布。 解：设  为取得的正品数，  的分布列为 0 1 Pk 0.05 0.95  分布列有性质： 0  Pk 1  Pk =1

般地,如果的分布列为 0q 其中qp>,p+q=1我们称5服从两点分布(或0-1分布) (2)二项分布 例4:4枚反坦克导弹同时对一坦克射击,每枚导弹命 中坦克的概率为09,求 (1)命中枚数的概率分布 (2)若命中两枚后坦克被摧毁,求摧毁坦克的概率。 200337 概率与统计

2003 3 7 概率与统计 8 一般地，如果  的分布列为 0 1 Pk q p  其中q,p>0,p+q=1.我们称  服从两点分布（或0—1分布） （2）二项分布 例4：4枚反坦克导弹同时对一坦克射击，每枚导弹命 中坦克的概率为0.9,求 （1）命中枚数的概率分布 （2）若命中两枚后坦克被摧毁，求摧毁坦克的概率

解(1)的概率分布为 P(=k)=C40940.14(k=0,234) 经计算,其分布列为 0 2 4 000010.00360.0486029610.6561 (2)P(≥2)=P(=2)+P(5=3)+P(5=4) =0.0486+0.2916+0.6561 =0.9963 或=1-P(5<2)=1-P(=0)-P(2=1) =1-0.0001-0.0036=0.9963 200337 概率与统计

2003 3 7 概率与统计 9 解（1）  的概率分布为 ( ) 0.9 0.1 ( 0,1,2,3,4) 4 = = 4   = − P k C k k k k  经计算，其分布列为 0 1 2 3 4 Pk 0.0001 0.0036 0.0486 0.2961 0.6561  (2) 1 0.0001 0.0036 0.9963 1 ( 2) 1 ( 0) ( 1) 0.9963 0.0486 0.2916 0.6561 ( 2) ( 2) ( 3) ( 4) = − − = = −  = − = − = = = + +  = = + = + =        P P P P P P P 或

般地,如果随机变量的分布为 P(5=k)=Cnp·q"(k=0,2…m) 其中0≤p≤1,p+q=1,n为正整数 则称服从二项分布,记作5~B(n,p) (3)泊松分布 如果随机变量ξ的概率分布为 P(5=K) (k=0,2 则称5服从参数为的泊松分布,记作5~P(九) 200337 概率与统计

2003 3 7 概率与统计 10 一般地，如果随机变量的分布为 其中 p p q n为正整数 P k C p q k n k k n k n 0 1, 1, ( ) ( 0,1,2 )   + = = =   =  −  则称 服从二项分布，记作  ～B(n,p) (3)泊松分布 如果随机变量  的概率分布为 ( 0,1,2 0) ! ( = ) = =  −    e  k  k P K k 则称  服从参数为  的泊松分布，记作  ～P（  ）