《高等量子力学》课程参考文献：Fock空间二次型Hamilton量的对角化技术

差香贵流hhu笔印国可 Fok空间，哈密软量 二次型，对化 玻色体条」 1995年6月 山东师大学报（自然科学酸） 第10卷第2期 Journal of Shandong Normal University(Natural Science) Vol.1No. ® Fock空间二次型Hamilton量的对角化技术 240-22 远怀新 栋盛典除秀传” 邓汝刚O4133 许多物理体系在适当近似之下，可归结为解二次型的Hamilton量阿题.我们从算符运动方程 出发”，对五种不同形式的二次型Hamilton量，分别给出了其耦合解除的变换矩阵 H=〔Aa时十Ba:+r(a时a:十aa门.(ABr为实数) (1) 1玻色体系 为解除(1)式中辋合项(aa十aa1.我们考查算符a:与a的运动方程（取h-1). ia,=〔a,H)=Aa1+ra:ia:=〔a,H〕=Ba:+ra (2) 由(2)式知，为使(1)式对角化，应当组合a:与g为此，引入新算符6，(=1,2)，作下列实系数线性 变换 a-4:a+a6时=，a了+a.b=a:十v,a:,b时=wa+v1a.(3) 要求新算符同样满足Bose对易关系 C6,bt)=8,Cb.,bJ=Cb*,b)=0, (4) 由对易关系(4)可得系数关系 C:]=a]+va+=1, (5】 C.- 0 (6) 与 G=1.2的 种选法一种是 种选法，即 ,则 另种是， 4 ,==代入5式中有 好+ 7 从？式可以看出，存在者的多种取法，例如可取 士sin9),=士8in(或士cos0 其中由 付角化条件定 当然种取法都将线 出相同的对角化结果 =cos,=sin,则 b:=cos0a:-sinda.'bi=cos0at-sind:.b:=cos0a sinda.bf=cosoai +sina. (8) 将(8)式写成矩阵形式 (6+,b城66)=(ata对a,aU (9) 其中变换矩阵U为 cos0 sin 0 0 U- 0 (10) 00 coso sin 10 0-sine cos6 牧裤日期：1994一06一30

1995年 6月 第 lO卷 第 2期 FD 望同 ，口言密谈量，二坎 对 孩 氛， 山 东 师 大 学 报 (自 然 科 学 版 ) JournalofShandongNormalUniversity(NaturalScience) Jun．1995 Vo1．10No 2 Fock空间二次型 Hamilton量 的对 角化技 术 口一zlT- 新 柳盛 徐秀 (=)jL／ 昌潍师专荐瓦军袈： 啊43．山东 窃 1曩目’吾 范学院物理学系，264。。。，山东烟台 第一作者35岁．男．讲 ) 许多物理体 系在适 当近似之 下 ，可归结为解二次型 的Hamilton量 问题 ．我们从算符运 动方程 出发m，对 五种不同形式的二次型 Hamilton量 ，分别给 出了其耦合解除 的变换矩 阵 H = CAa(+ B口 + r(a~a2+ aTa1)]． (ABr为实 数 ) (1) 1 玻色体系 为解除 (1)式 中耦 合项 (n +dn)．我们考查算符 n．与n。的运动方程 (取 h一1)． ia】一 [d1，H 3= Aa1+ 2 ia‘2= Ca￡，H ]= Ba2+ m L． (2) 由(2)式知 ，为使(1)式对 角化 ，应 当组合 n 与 n 变 换 6_一 nLd2+ 碑2， 占 = “】a7+ ． 要 求新 算符 同样满足 Bose对 易关 系 为此 ，引入 新算符 6( 1，2)，作 下列实 系数线性 = n2啦 + lnL， 一 “ + 1d ． (3) [6，6 ] = [6，6]= [" ，6 = 0， (4) 由对 易关 系 (4)可得 系 数关 系 [6 ， ]= “ m ]+ ； ，n ]一 “ + 口l一 1， (5) [6L， ] 一 “ L+ “22— 0， (6) 由(6)式知 ，存在 着 “，与 ( 1，2)的两种选 法。．一种是 “ =“，则 =-T)，另一种是 “：=一“：， 则 = 我们采用前一种选 法 ，即 “= 一“m = 2= ，将 “= ， 一 代入 (5)式 中有 “ + ；一 “ + = 1． (7) 从 (7)式 可 以 看 出 ，存 在 着 “， 的 多 种 取 法 ，例 如 可 取 n= 士cos0(或 士sin0)， = ±sin0(或 士 cos0)， 其 中 0由对 角化条件定 ．当然哪种取 法都将给 出相 同的对角化结果 ．不妨取 “=cos0，v=sin0，则 61= COSOa1一 sinOa2， 矸 = COS如 一 sinOa ． 62一 COSOa2+ sin如 L， 一 COSOa + sina7． (8) 将 (8)式 写 成 矩 阵形 式 (62+ ． 6I b2)= (n 日 d1 口2)U (9) 其 中变 换 矩 阵 u 为 收 稿 151期 {1994一 O6— 3o nO O 0 mS {C宝 O O ∞ ． 一 l三 o 0 甜 ∞ 蚍 O O 维普资讯 http://www.cqvip.com

第2期 逯怀新等：Fock空间二次型Hamilton业的对角化技术 211 这个矩阵U就是我们要找的使(1)中辆合解除的变换矩阵.若取u=cos0,v=一sin0则 -cos0a.+sinda:6=cosda:+sindaf.b:=cos0az-sin0a,bf =cos0af-sinoaf. (8 即 (g cost 0 0 U= sino coso 00 (10) 00 cos6-sin Io o sine cose] 当然还有几种取法，但不管采取(9)式还是(9)式的变换形式，都会给出相同的对角化结果为 -B城 (1 A'=Acos'0 Bsin'0-2rsind cos0,B=Asin'0,Bcos20,+2rcos0,. (12) 0是g20=-A”B的解.将tg20,=-A乙B代入(12)式中可求得 A'=号(A+B+A-B)+4P),B=号(A+B-/(A-B+47).(13) 1费米体系 按上面做法，考查运动方程 ia1=〔a,H)=Aa,+ra,a=〔ae.H=Baa+ran (14) 由(14)式的形式，可以引进准粘子算符，b: b1=41a1十va3,6=1at+va.b1=ta:十141，b时=42a十v141. (15) 同样要求新算符6满足Fermi对易关系，6门+=心，6门+-C6时，6门4=0. (16) 由对易式(16)得实系数关系 (17) 式(17)与Bose体系所满足的系数关系相同，因此所得变换矩阵与Bos心体系相同， 2 Hamilton量为Aa十Baa十i(atae一a对a,)的情况 2.1玻色体系考查运动方程 ia,-〔a,H〕=Aa+ria、ia,m〔a.H〕=Bae-ria. (18) 引进准粒子算符 6=a1+ivia:bi=a-iua,6=4a:+iwa1,b时=4a时-o,a (19) 由Bose对易关系(4)可得系数间关系 -1 :0 (20) 同样由一=0定出“，与，(=1,2),可取u1=4则= 或取4，=一4，则=一h) 我们采取前一种取法，即1=：=私西=：=v,代入十好=1中得 4十v=1, (21) (21)式与(7)式相同，故对4，v有相同的取法，若取w=cos0,=sin0,则 6=cos0a+isinbab=cosbat-isinbar6=cosba+isinda=cosou-isintat. (22

第 2期 逯 怀新 等 Fock空 间二次 型 Hamilton量 的 对角 化技 术 211 这 个矩 阵 u就是我 们要 找的使(1)中耦合解 除的变换矩 阵 ．若取 “=cos0·一-sin0则 一 costa1+ sinOa2，" 一 cos& ?+ sinOa+． b2一 cosOa2一 sinOal， b7 = eosOa~+ 即 (bl- b 62)一 (at dl aDV· fcos0 一 sin0 0 0 ] sin0 cosO 0 0 ； —j【0 0 c。s 一sinj‘ 0 0 sin0 c。s0J sin0a ． (8 ) (9 ) (10 ) 当然还有几种取法．但不管采取(9)式还娃(9)式的变换形式 ，都会给出相同的对角化结果为 H — A " 6c-f- bz+b2， (11) A 一 Aeos01+ Bsin 0】一 2rsin0Icos0I，B = Asin 01+ Beos0l+ 2reos0】sin0】． (12) 0．；~tg20=一百 的解 ．将 tg2口．一一万 代八 (12)式 中可 求得 ： I (A + B + ／ r二1 r干 )， B 一 I (A + B 一 ／ =1 r )． (13) 1 费米体 系 按上面做 法 ．考查运动方程 函 一 [n。，日]= Aa 由(14)式的形式 ，可 以引进准 粘子 算符 b。 m 2， ia一 2，H = Ba2+ m ，b2 6l— Ulnl+ V2a2，蚵 一 “ld + V2n ． 一 uza2+ dl， 一 “ + at． 同 样要 求 新 算 符 b满 足 Fermi对 易关 系 ．，6 ]+一如 ，0．．6 ]+一 [6 ，6 ]+一 0． 由对 易 式 (16)得 实 系 数 关 系 } }一 l， 】+ “2zr= O． 式(17)与 Bose体 系所满足 的系数关 系相 同 ，因此所得变换矩 阵与Bose体 系相 同 ． 2 Hamilton量为Aa++B 2+ri(a+a2-a+a1)的情况 2．1 玻 色体系 考查运动方程 一 】，H ]= Aa】+ ria{， = ，H ]一 Ba2一 Ha 引进 准粒 子 算 符 b】一 “】dl+ iv2Ⅱ：，bt 一 “In 由Bose对 易关 系(4)可得 系数 间关 系 at，b2一 “ 2 iv】Ⅱ1，bt一 2Ⅱ 一 iv1Ⅱ (14) (15) (16) (17) (18) (19) “}+ v{= 1， “lL一 2： 0 (20) 同样由14iV一“2Vz一0定出“ 与 (=1，2)，可取 “l一“ ，则 口(或取 一～“2，则 一一 2)． 我们采取前 一种取法 ，即“．一“一“ = 一 ，代人 “{+ ¨_1中得 + V 一 1． (g1 (21)式 与(7)式相同 ，故对 “， 有相 同的取法 ，若取 “=cos0，=sin0，则 b1= cosOa】+ ／sin0a2，bt— eosOa+一 isinOa~，b2一 COS如 2+ isinOaI，6 = eosOa~+～ isinfla~+． (22) 维普资讯 http://www.cqvip.com

212 山东师大学报（自然科学饭） 第1肚卷 其矩阵形式为 Gb方6b)=(aa:a,at, (23) 故得变换矩阵 U= -isino cos0 0 (2+J 0 0 cos0 isine 10 U sino cose 若取=cos0,=一sin0,则 (b时b城6b)=(a时a时a.a:, （23) cosa isine 0 0 U= isina coso 0 00 (2) -isina 同样可以证明，不管果取(24)或(24')的变换形式，都会给出相同的对角化结果为 H=A'66+Bb:6,. (n5) 本征偵 E.。=A'n:+注，(n1,姓=0,1,2，…) （26) 其中A,B由(13)式给出，故(1)式与(18)式的Hamilton量有相同的本征值 2. 费米体 通过对运动方程的考查及准粒子所满足的Fermi对易关系，可以证明.为使耦合解除所作的变 换与Bose体系有完全相同的形式，在此不拟多作重复· 对Hamilton分别为 H-Aufu,+Baju:+r(ui ai+u:) H-Adi a,++ri(aai-axa). HJ=Aaa+r(a十at)的情况与以上讨论类似.可得到类似的结论· 3讨 论 通过上面的详细论述.可以清楚地看到.为使Fock空间二次型Hamilton量对角化，可从算符 运动方程形式对算符进行重新组合，从而引入新的准粒子算符，最后按照F©k空间对易规测不变 的要求（即保持Bose性或Frmi性不变）.定出各实系数，得变换矩阵，但值得指出的是，用这种方 法所得到的变换矩阵不一定为么正的，正如文献(6们中已经论证的，它们是辛群元素（辛阵）.例如 在本文中所得的(10)、(25)式的矩阵.它们就是辛群元素，其中(10)，(25)式中的矩阵为即辛且么 4参考文献

2l2 山 东 师 大 学 报 (自 然 科 学 版 ) 第 10卷 其 矩 阵形 式 为 故 得 变 换 矩 阵 ( b． b2)一 (Ⅱ 口 a d2) isjn0 cosO 0 0 0 0 cosO sjn0 0 0 sjn0 cosO (23j (241 若取 “=cos0，一 -siva0，则 (6 b b。) 一 ( 口 a 啦 ) ． (23 ) COS0 isin0 0 0 1 I／sin0 cos0 0 0 。 u—Io o c咖 一 n 4．) 【。 。 一 i 。 J 同样可以证 明 ，不管采取 (24)或 (24)的变换形式 ．都 会给 出相同的对 角化结 果为 H — A 6 b + B bib ． (25) 本征值 E 一 十B啦，(1，啦=0．1，2，…) (26) 其 中 ， 由(13)式给 出 ，故 (1)式与 (18)式的 Hamilton量有相 同的本征值 ． 2．2 费米体系 通过对运动方程的考查及 准粒 子所 满足的 Fermi对易关系 ，可以证 明 ，为使耦 合解除所作 的变 换 与 Bose体系有完全相 同的形式 ．在此不拟多作重复 ． 对 Hamilton分 别 为 H — Ad 1+ Baz+a2+ r(a~-a7-4-a Ⅱ1)， H — A4 Ⅱ1+ B口 z+ ri(aTⅡ 一 aea1)． HJ=Aa— +r(az+n )的情 况与以上讨论类似 ，可得到类似 的结论 3 讨 论 通过上面 的详细论述 ，可以清楚地 看到 一为使 Fock空 间二次型 Hamilton量对 角化 ，可 从算符 运动方 程形 式对算符进行重 新组合 ，从而引入新 的准粒子 算符 ，最后 按照 Fock空 间对 易规 则不变 的要求 (即保持 Bose性 或 Fermi性 不变)．定出各实 系数 ，碍变换矩 阵 ，但 值得指 出的是 ，用这 种方 法所得到 的变换矩 阵不一定 为么正 的 ，正 如文献 [6]中已经论证 的 ，它 们是 辛群元 素 (辛 阵)．例如 在本文中所得 的(1o)、( )式的矩阵 ，它们就是 辛群 元素 ，其 中(10)、(25)式 中的矩 阵为即辛且么 ． 4 参考文献 1 Reich[L E A M odernCourseinstatisticalPhysics 1980，272～ 278 2 李正 中 ．固体 理论 北京 高 等教育 出版社 ，1985 80～183 维普资讯 http://www.cqvip.com