《高等量子力学》课程参考教材：《量子力学》中文版（作者：朗道，共十章，含附录）

上册目录 英文第一版序者… 英文第二版序言摘录……3 俄文第-版序高筋录…… 俄文第三版序言………5 号…7 第一京是子力学的基本概念………1 … §2春组原理…… ..-1 写3算符………………… §4算符的知法和乘法 .16 5莲续洪……………………………… 19 36过到经典力学极限形 … §7被函数与测量… …26 第二章能和动…………3】 §8哈密顿算符 …31 ；9算符对时的微度… 510定… -34 115 38 S12矩路的变烦……… 13符的海森伯及象……… 秀14密院阵……… 48 515动量 ……52 51不准关系式…………56 第三章薛定谬方张………6 §17森定设方程… -51 18薛定方程的基水性质………，……………一65 令19流密度**…+： 20变分原理…

52!一维运动伪一轻性质： …74 522殊4…440,444。。444,4：.：。70 523线性叛子· 景24均到场中的运动……… …92 25透射系数… 第四章角动量 326角为量. 写27角动量的本征位…………………10时 多28角动量的本征的数 …110 有29失量的矩阵元…………………………… …113 尊30态的字称 …18 等31角动量的相加……… 第五章辏力场中的运动……125 §32换力场中的运动 …125 写33球面波， 多34平面波的分解… …………04400…t+0…13 §35粒子向力心的“坠落“…。 …14 536床伦场中的运动球坐标)………………………………143 37生伦场中的运（抛物酏标） 15 第六章微扰伦…………1阳 S38与时间元关的微扰…… 539久期方程 68 540与时间有关的微扰……… §1有限时间间隔微扰作用下的沃迁……………1： 42周微扰作用下的跃近…………………………18 写43连获济h的跃迁……………………… *18 544能量的测不准关系 19 45以势能作掇忧……，…， 第七章谁经典情形…………1 460经典形下的被函数………………………… …199 等7准经典特形白的边界条件… -.,203 …206 写49棱力场中的t经典运动………………………21以 0势经的贯穿………………………………217 。2

5:准经典姬阵元的计算： …22 §52准经典情形下的跃近儿率…………………229 53绝热微扰作用下的天迁 …231 第八章自旋…28 55自旋 写55自旋算待…………243 草56旋……… ……247 等57具有任意自旋的粒子波雨教……………………252 背53有限转动笋符……………………259 559粒子的部分极化 …265 SG7时间反演非克荆米定理…………，…，+4…+4。…，…+ …268 第九章粒子的全同性……………22 56引同类粒子的不可分辨性原理……………………272 §2交换作用： 563置换对称性…*， 64二次量子化玻色统计形………291 多65二次是子化费密统计形……………公97 第十章原子… …30 多66原子的能级 567原子中的电子态…… 写68类氢能级… …307 多e9自洽场-… …309 70托马撕-费方花………………314 多1近核处的外电子波函数… ………320 §？2原子能级的精翻结构 73门列夫元素凋期系……………327 §74X射线谱项…………小…………336 等75多极矩 338 景78电场中的原子…………………山……343 77电场中的原子… …348 数学附录……1》 ·3

c北被多项式……………………(6) d合流超几何心教… e辉几何的放……… …(12 舍有合流超儿刘的数的积分计经………………（们） 。4

第一章量子力学的基本概念 §1.测不准原理 每当我们试用经典力学和比动力学闻释原了现象时，总会得 出与实验有明显矛盾的结论。最明显的例子，是把通常的电动力 学州于电子绕原子核作经典轨道运动的原子模型.当电子作这利 运动的时侯，它和带电粒子的任何加速运动一样，会不断地辐射电 磁波.由于这种辐射.电了便会丧失能量，这将使它终干落人原子 核中.故按经典电动力学看来，原子将是不稳定的，但这与车实完 全不符 理论与实验之间如此深刻的矛盾，表明要建立一种适用千原 子现象（即质量极小的一些粒子在极短间距内所发生的现象）的理 论，需要根本改变基本的物理概念和定律 为方便计，我们章实验上观察到的电子衍射现象①，作为削 明这种根本改变的出发点.当一均匀电子注学过一块晶体时，发 现出射被呈示一种强弱交替的图样，完全类似于电磁波衍射中所 魂煞到的衍射图样，由此可见，在一定的条件下，质点（此例中为电 子)的行为中会表现出属于被动过程的特征. 这种现象与习常的运动观念之间的矛盾，究竟尖锐到什么地 步，最射用以下的假想实验说明，它是晶体的电子衍射实验的一种 抽象化.设想有一块电子不能穿透的屏板，板上开有两道狭缝.北 @电子衍射现象实际上是在量子力学建立以后才发现的.但在我们的论述中， 我们不去构泥二理论的历史发展颗序，而是尽量采用这样的讲法，使得量了力学的泰 本原理与实验规象之间的以系衣达得最为清楚

电子注①通过其中的一·个狭绕，（遮住另一个狄缝）.则在种缝后放 置的连缕幕上可以得到某·强度分布阁样；应用同样的方法，遮闲 第一个狭缝并揭开第二个狭缝，可得另一个图样.现在让电工注同 时通过这两个狭缝，我们根据通常的经典观念，一定会设想所得的 图样不过是原先两个图样的简消叠合：因为每一个电子都沿门己 的轨逍运动，只通过狹缝之一，而不会影响正在通过另一个狭缝的 电子.可是，电子衍射现象表明，由于干涉作用，我们所得的衍射 图样实踪上并不等于每一个单狭缝所分别给出的那两个衍射图样 之和.十分明显，这个结果无法与电子的轨道运动观念相协调。 因此，统辖原子现象的力学一量子力学或波动力学一必 须建立在与经典力学根本不同的运动观念的基础上，录子力学巾 并不存在粒子轨道之类的概念.这就构成了1927年②W.海森 所发现的量子力学基本原理之所谓测不准原理的主要内容 从抛弃经典力学的习常观念这一角度讲来，测不准原弹的内 容也许可以说是消极的.成然，这个原理的本身，还不足以作为 建立新的粒子力学的基础.这样一种新的理论，自应建立在若干 积极论断的基础上，这将在以后(s2)讨论.但是、为了能够表述 这些论断起见，我们有必要首先弄清量子力学所面临的问题的提 法。为此，我门先来考察一下量子力学和经典力学内在关系间的 特殊性质.凡是一个更为普遍的理论，往往可用完整的逻辑形式 表述出来，并月独立于那些作为它的极限情形的较窄理论.例如 相对论力学可以建立在自己的基本原理的基础上，无需参考牛顿 力学.可是，当我们表述量子力学的基本概念时，原则上郑不能不 假定粒子是如此稀疏.以致粒子间的相互作用可以略去不计 ②值得指出，盘子力学的完整数华表述。是在测不准原理发现之前，由W,海 森伯和E,薛定母在【925一1926华间雄立起来的，测不准原理体现了这一数学花述 的物理内容。 。2

用到经典力学.一个电子①没有确定的轨道，这一事实本身意味 着这个电子也不会有共它甚么动力学标志②.于是就很清楚，对 于一个只包含量子客体的系统讲来，势必完全不可能建立起任何 逻辑上独立的力学.对电子运动作出定最描述的可能性，要求 时存在一些物理客体，这些物理客体在足够精确的范围内服从经 典力学.如果一个电子和这样的“经典客体”相作用.后者的状态 一般讲来会有所变堕，这一变更的性质及大小依赖于电子的状 态，从而就可以用来定量描述电子的状态. 因而，“经典客体”通常称为仪器，它和电子的作用就称为测 量.但是行必要强调指出，我们在这里根本没有讨论物理观测者 所参与的“测量”过程，量子力学中所谓的测量，我们总是把它理 解为与任何观测者无关的发生于经典客体和量子客体之间的任一 相工作用过程.测量概念在量子力学中的重要性是由N.玻尔所 闸明的。 我们已把“仪器”定义为在足够精确范围内服从经典力学的一 个物理客体，例划！一个质是足够大的物体。但不能因此认为仪器 必然是宏观的、在一定条件下，微观客体也能起部分仪器的作用， 因为“具有足够的精确度”这一概念取决于所设的具体问题.例如 威耳孙云室中的电子运动，可用它所遗留的云迹观察之，这种云迹 的相细远大于惊子尺度；当用这样低的精确度确定轨道时，电子完 金是一个经典客体 由此可见，量子力学在物理理论中占有一个很不平弦的地位； ①为简便计，在本节及以后各节中，凡悬讲到一个电子的地方，可以般地星 解为-个其有盛子脖性的任利客体，即指不服从经典力学而服从是千力学的粒f或器 子系统. ②我们所指陶是标志电子运动的那些量，而不是指标：达粒了本身的电药喷量 。3

它把经典力学作为一利极限情形而包含之，但在它的自身表述中， 同时又希要这-·极限情形 现在可以来表述一下量了力学问画的提法。一种典型的问题 是：用前次测量的已知结果，去预断下一·次的测登结果.除此以外， 我们以府将看到，量子力学巾的各种物理量（例如能量）所能采取 的数值，即作为该量的测量结果所能得到的数值，它们的值域和经 典力学相北比一般讲来是受限制的.量子力学方法必须告诉我们怎 样来确定它1的各种元许值. 量子力学巾的测量过程具有-种十分重要的诗性：它总是要 影响到被测的电子，并且在给定的测登精确度范围内，原则上不可 能使这种影响变得任意小.测冠得愈精确，它所给予的影响就愈大， 只有在精确皮极低的测量中，被测客体所受的影响才能很小.测量 的这种性质，逆辑上是由于电子的动力学标志仅仪作为测量本身 的结果小说交现出来：{分明址！果测量过程对客体的影响可以 任意地小，这就意味普被测之量本身具有一个和测量无关的定位， 在各种测量中，电子的华标测最具有基本的意义.在量子力 学的适州侬度内，对一个电子所施行的坐标测最①总是可以达到 需要的任何转确度. 现在假定对一个电子的坐标相继测量了许多次，每次相隔的 时间固定为△：，这些测是结果，一般讲来，并不位于一条光滑的 曲线：，而是相反，测得愈精确，这些结果会变化得愈不连续愈 不规则；正好和电子不存轨道的概念相“致.只有在极为粗略 地测景电千坐标的辨形下，例如，在戴耳孙云室中根据蒸气凝成的 液滴确定电子坐标的情形下，才会得到·条相当光滑的轨道。 现在让潮益的精确度保持不变，我们把测鼠之间的时间间隔 ①我耳强冯一强.所讯“施行调”是病一个电子和一个经奥仪器”的相互作 用.丝爸起没有商设外鄂观微者比存在 4✉

△6加以缩短，那未，利相邻的测最当然就会给出坐标的：邻镇.-一 系列相继测量之后所得的结果，虽然都会落到某一很小的空间范 周内，可是它们将在这个区域内毫无规则地分布若，并不位于任· 光滑曲线上.特别是△：趋向于零时，相继测址的结朵毫不趋于同 …直线上 这种情况表明，量子力学中并不存作经典意义下的粒了速店 概念，经典的粒子逃度，就是指两个时刻的华标之弟除以这两个时 刻的时间间隔△话后当△t趋向于令时所得的极限.不过，以后我 们会看到，子力学巾可以建立一个合琪的定义，师米表示某一给 定时刻的粒子速度，并日当景子力学转向经典万学时，这个速度也 随之转为经典的速度.可是，在经典力学中，一个粒子在任一给定 时刻可以同时具有确定的坐标和确定的速度.而在岸了力学中.修 况则完全不同.如果测量结果发现也子其有确定的坐标，那米，它 就不可能问时具有任确定的速度。反之，其有确定速度的电子 就不可能具有确定的空间位置.事实上，坐标和速度的同时存在 就边味着一条确定轨道的存在，这正是电了所没有的.山此可见 在量子力学中，一个电了的坐标和速度是两个不能同时确切测量 的量，也就是两个不能同时具有定作的量.我们也可以说，电了的 华标速度是两个无法同时存在的景.以我们还要导出一个定 量的关系式.用来判断华标和速度引时近行非精确测量的可能性 经典力学对一个物理系统的状态进行完金描述时，可以采用 该系统在某一给定时刻的所有华标值和所有速度值；有了这些初 值后，通过运动方程.就能完全确定该系统在今后所有时刻的行 为。这样的描述，在量下力学巾在原则上則是不可能的，因为坐标 及其相成的速度值不可能同时存在.所以量子系统的状描述所 州的贤要比经典力学米得少，也沈是不及经典拙述那样详尽 由此引出的一个重要结论、是关于量子力学中所作衡斯的 5

性质问题.经典描述足以完会精确地预断一个力学系统的未来运 动，可是量子力学中详尽作较的描述显然不足以敬到这一步.这 就是说，·个电子即，处于被量子力学描述得尽可能完备的状态 中，它在今后时刻的行为原刚上仍然是不肯定的.从而量子力学 对电子的未来行为不可能作完全肯定的预断.对一·个给定的电也 子初态而言，下-一次的量就有可能得出各种然果。量子力学的 问题仅在于确定该次测景中测得各种可能结果的几率.当然在某 种情况下，一转定测景结果的几率也有可能等于一；对这样的测 量讲来，所测结果是唯一的，亦即是肯定的 量子力学中所有的测量过程可以分成两类.其中有一类居多 数，这类测量不管系统处于什么状态，都不能测得唯一的肯定结 果.另外一类测量.它的每一种可能结果都能从某种相应状态巾 背定地测得、后一类测量在量千力学中占有重要的地位、称为可 以预断的测景.由这种测量所确定的状态、它的定景标志称为最 子力学中的物理量.如果在某一态中，某种测量总是给唯一的 肯定结果，我们就说该态中相应的物理盘具有定值.今后我们对 “物理景”一词，总是理解为此处所指的含义 今后我们一再公看到，景子力学中远非任意-…组物理量都能 同时测危.耶都能同时其有定俏.我]早已讲过一个例子.就是一 个电子的标和速度.住最子力学中起菥石大作用的是具有下述 性质的-~组物理景：这组量能够同时测量.非且当它们时具有定 值的时候.再也没有别的物理量（只要不是这一组量的函数）能 该态中再具有定俏.我们把这样的一组物理量称为一个完全集合. 电子状态的任何描述全都来自某种测景结果.现任来讲·下 量子力学中对·个状态进行完全描述的含义.完全描述的态是由 物理量的某一完金集介同时测量的针果所产华的.根据这祥的测 量结果，我们就能确定下一次任何测量中各种所得结果的几率，并 ·6·