《高等量子力学》课程参考教材：《量子力学原理》中文版（第四版，作者：狄拉克，共十二章）

目 录 第四版序言… 第一版序言摘录…i议 第一章态的迭加原理…1 S1.量子理论的需要……1 S2.光子的偏振…4 53.光子的干涉… …7 4选加与不确定性…9 55.迭加原理的数学表达…13 §6.左矢量与右矢量…17 第二章力学变量与可观察量…21 S7。线性算符 …21 写8.共扼关系…24 59.本征值与本征矢量…27 510.可观察量…33 511.可观察量的函数…39 S12.普遍的物理解释 …44 §13.对易性与相容性 …48 第三章表象理論…53 §14.基矢量…53 §15.6函数 …58 S16.基失量的性质…62 §17.线性算符的我象…67 518。几率幅 …73 519.关于可观察冠函数的若干定理…77 §20.符号上的发展…80 evii

第四章量子条件…85 S21.泊松括号…85 522.裤定谔表象……90 23.动量表象…96 524.海获伯不准原理…99 525.位移算符… 101 §26.么正变换 …105 第五章运劲方程…110 527.运动方程的薛定谔形式 …110 §28.运动方程的海森伯形式…113 529.定态…118 §30.自由粒子…120 531.波包，的运动…123 532.作用量原理… 127 §33.吉布斯采综… 132 第大章初等应用 …137 S34.谐振子… 137 §35.角动量…142 536.角动量的性质 …146 537.电子的自旋… …151 538.在有心力場中的运动 155 539.氨原子的能级…160 §40.选择定则…162 §41.到原子的塞曼效应…168 第七章微扰理論…。 …171 §42.概迹…171 543.微扰写引起的能级变化…172 S44。引起跃迁的微扰… 176 §45.对辐射的应用… …179 §46.与时间无关的微扰引起的跃迁 。.。4182 S47.反常塞曼效应…185 ·viii

第八章碰撞間題…189 548.概述… …189 §49.散射系数…192 S50。动量表象中的解…197 551.色散散射…202 552。共振散射…205 §53.发射与吸收…208 第九章包含許多相同粒子的系統…211 §54。对称态与反对称态…211 S55.排列作为力学变量…215 556.排列作为运动恆量…217 57.能级的决定…220 558.对电子的应用…223 第十章輻射理論…229 559,玻色子系巢…229 560.玻色子与振子之间的联系…231 561.玻色子的发射与吸收…237 562.对光子的应用…240 563.光子与原子间的相互作用能…244 564.辐射的发射、吸收与散射…249 565,费米子采集…253 第十一章电子的相对論性理論…258 S66,粒子的相对论性处理…258 S67.电子的波动方程…259 568.洛伦兹变换下的不变性…263 569.自由电子的运动…266 570.自旋的存在…269 S71.过波到极坐标变量…273 572.氫原子能级的精细结构 …275 573,正电子理论 279

第十二章量子电动力学 …283 574.沒有物质的电磁場 …283 §75.量子条件的相对论形式 …287 76.薛定力学变量…290 577.补充条件…295 §78。电子与正电子…299 S79.相互作用…306 §80，物理的变量…31】 581.理论的困难 … 315 索引… … 320

第一章态的迭加原理 51.量子理篩的需要 从牛順的时代起，經典力学已有不断的发展，井且被应用到力 学系統的日盒广泛的頒域，包括与物质有相互作用的电磁揚. 些基础性的思想与支配它們的应用的規律，形成了一个筋洁而优 美的方案，使人們不禁要就为，这种方案如果不把它的吸引人的特 点全部破坏，是不可能作重大的修改的。虽然如此，現在已发現有 可能建立一种新的方案，称为量子力学，它更适合于描述那些原子 尺度内的現象，而且在某些方面，它比經典方案更为优美，更合人 满意.这种可能性是由于新的方案所包含的变化具有十分深刻的 性質，而且不与那些使怒典力学如此吸引人的特点相冲突，秸果經 典力学的所有这些特点都能够合并到新方案中去. 实驗結果清楚地表明了背离經典力学的必要性。首先，經典 电动力学中已知的各种力已不足以解释原子与分子的显著的稳定 性，而沒有这种稳定性，物质材料就完全不可能有任何确定的物理 性賈与化学性质.引入新的假定的力也不能挽救这种情况，因为 在經典力学里，存在着一些带普逼性的原理，这些原理对所有各种 力都是适合的，但它們却要引起一些直接与覌察不相符的待果.举 例說，如果使一个原子系枕从平衡位置受到任何方式的千扰，再赴 它不受外界影响，它就会振动，这些振动将影响周围的电磁場；这 样，这些振动的頻率就可能用光譜仪观察出来。不管支配这个平 衡的力的規律是什么样的，人侧然芝把这些不同的頻率包 括在一个由某些基本頻率与的酷雜戏的方案中.观察的 精果却不是这样.相反地察到的是，在这延 須牵之間有出人意 料的新联系，这个联系被称为米 学的里兹粗合定律”，按照这个 ·1

定律，所有这些頻牵都能表达成其些譜項之差，譜項的数目要比 頻率的数目少得多.从經典观点看来，这个定律簡直是不可理解 的. 有人为了克服这个困难而不背离經典力学，也許会假定光譜 学上观察到的頻率的每一个都是基本頻率，各有其自由度，而力的 規律应該具有使諧頻振动不出現的特点.但是，这样的理論是不 行的，卸合不考虑它不能解释粗合定律这一事实，也还是不行的， 因为它直接与比热的实驗証据相冲突.經典統計力学使我們能够 在振动系集的自由度总数与其比热之間建立普逼的联系。如果假 定原子的光譜頻牵全部相应于不同的自由度，那么，对任何物质所 得出的比热会比观察值大很多，事实上，在普通温度下，观察得到 的比热是与仅仅考虑每个原子作为单个整体运动而完全不考虑它 的内部运动的理論符合得很好的， 这一点把我們引向經典力学与实驗结果之間的新矛盾.为了 說明原子的光譜，在原子中肯定应有某种内部运动，但这些内部自 由度由于一些經典理論难以解释的原因，对比热沒有貢献.在与 眞空中电磁場振动能量有关的間題上，也发現有类似的矛盾、經 典力学要求与这种能量相应的比热是无穷大的，而观察到的比热 却是有限的.从实驗特果得到的一般性结論是，高頻牵振动对于 比热都沒有作出經典理論所要求的貢献. 我們可以把光的行为当作怒典力学失敗的又一例証，一方 面，我們有干涉和行射等現象，它們只能在波动理論的基础上得到 解释；而另一方面，又有諾如光电发射、自由电子对光的散射等現 象，这些現象表朋，光是由小的粒子所粗成.这生粒子称为光子，每 一个光子都具有由光的頫率决定的一定的能量与动量，并且它們 看来是眞正存在的，其其实程度与电子或物理学中巳知的其他粒 子一样。从未观察到不是整个的光子. 实驗已經表明，这种反常行为不是光子所特有的，而是十分普 逼的.所有物质粒子都有波动性质，这种波动性质能在适当条件 下表現出来。这里我們有經典力学失败的一个很惊人的而且是普 ◆2

逼性的例子 一不仅是它的运动規律不准确，而且是它的概念不 足以給我們提供对原子性事件的描述。 当人們要想說明物頂的格极秸构时，就不能不背离經典思想， 这一必要性不仅可从实驗上已确立的事实看出来；而且也可从- 般哲学基础上看出来.在物质粗成的怒典解释中，人們要假定物 质是由很大数量的小的粗成部分构成的，并且人們要对这些粗成 部分的行为規律作出假定，从而推导出物质整体的一些规律。但 是，这样是不会使解释完全的，因为还沒有接触到粗成部分的稳定 性与其构造的間题，要深入探討这个間题，必須假定每个組成部 分本身又是由許多更小的部分构成，井用这些更小的部分来說明 它的行为。对于这样的程序显然是沒有止境的，所以，照这样的路 镜，人們永远不能达到物质的秘极結构.只要大与小还只是相对 性的概念，用小的来說明大的是沒有用处的.因此，必須用一种方 法来修改經典思想，这种方法要能給大小以絕对的含意. 間題到此变得重要的是，要記住科学所研究的只是可观察的 事物，同时，只有註对象与某种外界影响互相作用，我們才能观察 它.这样，观察的动作必然地要件随着对所观察的对象的某些干 扰.当我們观察某一对象时所伴随的干扰如果是可忽略的，我們 就下定义說，这对象是大的；而当千扰不能忽略时，这对象就是小 的。这样的定义和大与小的普通含义是紧密相一致的 通常假定，只要仔細些，我們就可以把件随观察的干扰减少到 任意所希望的程度。大与小的概念因而純粹是相对的，是关联到 我們的观察工具的細致程度，也关联到被描述的对象.为了要給 大小以絕对的含义（这是有关物质終极結构的任何理論所要求 的)，我們必須要假定：对我們观察力的精細程度和对件随着的于 扰的微小程度有、个限度.这个限度是事物本质中厅固有的，观 察者方面改进技术或提高技巧，都不可能超越这个限度。如果被 观察的对象大到足以使这种不可避免的极限干扰可以忽略，那么， 这个对象就是在絕对的含义上是大的，并且我們可以把經典力学 应用到它身上，反之，如果这种极限干扰不能忽靓，則对象在絕对 ·3·

意义上就是小的，我們就要用新的理論来处理它， 上述討論的-个結果是我們必须修改我們对因果性的观念， 因果性仅对那些未受干扰的系統适用。如果系統是小的，我們不 能在观察它时而不产生严重的千扰，因此，我們不能期望在我們的 观察秸果之間找到任何因果性的联系.我們假定因果性对于沒有 受干扰的系統仍是适用的，为描述未受干扰的系統而建立起的方 程是一些微分方程，它們表达出某一时刻的条件与后一时刻的条 件間的因果性联系.这些方程与經典力学中的方程紧密对应，但 是它們只能間接地与观察的結果相联系.在計算观察出的秸果时 就有不可避免的不确定性出现，一般說来，理論使我們能够算出的 只是，当进行观察时能获得某个特定結果的几李. 52.光子的偏振 在上节里討論了观察所能做到的細致程度的限制，以及因之 在观察的桔果中引起的不确定性；这些討論井未为建立量子力学 提供任何定量的基础.为了这个目的，就要求有一套新的准确的 自然规律。其中最基本的、最突出的规律之一是态的迭加原理。 我們将通过对某些特例的研究，引出这个原理的普逼表达方式首 先研究由光的佩振所提出的例子， 从实驗得知，当平面偏振光用于激发光电子时，电子的发射便 有择优方向。这样，光的偏振性质是与它的粒子性度紧密地相联 系的，而人們必須把偏振性质归之于光子.举例說，人們必須把在 某一方向平面偏振的一束光看成是每一个都是在此方向上平面 偏振的許多光子所粗成的；而把一束圓偏振光看成是每一个都是 圓偏振的許多光子所粗成.我們应当說，每一个光子是处于某 偏振态。我們现在必須考虑的間题是，怎样使这些想法适合于已 知的事实，这些事实是关于光分解为不面偏振的粗分以及这些粗 分的重新粗合 註我們举一个确切的例子.假定我們有一束光通过一个方解 石晶体，这种晶体有一种性質，即只赴垂直于光轴的平面偏振光通 ·4

过.經典电动力学告訴我們，对入射光束的任意給定偏振会发生 什么情丸.如果这个光束垂直于光軸偏振，則它全部通过此晶 体；如果它平行于光軸偏振，則它全部不通过此晶体；如果它的偏 振面与光轴成一个角α，則将有一部分通过，通过的与全部之比为 sin2a在光子的基础上怎样理解这些結果呢？ 我們所建立的图象是：在某一方向平面偏振的光束，是由每 一个都在此方向平面偏振的箭多光子所粗成.对入射光束是垂萌 或平行于光軸的平面偏振的两种情况，这个图象不引起任何困难】 我們只要假定，垂直于光軸偏振的每个光子都无阻碍也无变化地 通过此晶体，而平行于光軸偏振的每个光子都被阻止住并被吸收 了.然而，在入射光束为斜偏振时却引起了困难。这时每个入射 ·光子都是斜偏振的，这样的光子到达方解石时会出現什么情况，是 不清楚的. 关于在一定条件下某一特定光子会发生什么情况的間題，实 在是不很精确的.为了使間題精确化，我們必須設想进行与此間 題相联系的一些实驗，并探寻这些实驗的結果将是什么。只有关 于实驗結果的間題，才有其正的意义，也正是只有这些間題，才是 理論物理学所必須考虑的間題 在我們当前的例子里，明显的实驗是用仅含有一个光子的入 射光束，然后去观察在晶体背后会出現什么.按照量子力学，这个 实驗的秸果是：有时候人們在晶体背后会找到一整个光子，其能 量等于入射光子的能量，而另一些时候，人們找不到任何光子.当 人們找到一整个光子时，这个光子将是垂直于光軸方向偏振的.但 人們永远不会在背面仅只找到一个光子的一部分。假如重复这种 实驗很多次，在背后找到光子的次数将是实驗总次数乘以sina, 这样，我們可以說，光子通过方解石后，在背后出現为垂直于光軸 方向偏振的几率是sina,而光子被吸收的儿牵为cos2a.对舍有 大量光子的入射光束，这些几率的数值就給出正确的經典结果。 用这种方法，我們在所有情况下都保留了光子的单个性。然 而，我們所以能这样做，只是因为我們放弃了經典理論中的决定論 5

性质.实驗的結果#不是象經典思想所要求的那样，由实驗书控 制下的各种条件所决定的。事先所能料定的最多是一粗可能的黏 果以及每一个秸果出現的几率. 上述关于单个斜隔振的光子入射在方解石晶体上的实驗結果 的討論，回答了全部能够合理地提出的間题，卸当一个斜偏振的光 子到达方解石时将出現什么情况.关于决定光子是否通过的因素 是什么，以及当光子通过时偏振方向是怎样改变的等間題，是不 能从实驗中研究出来的，因而应当被款为是在科学頜域之外的，虽 然如此，为了使这个实驗結果与光子的其他可能的一些实驗秸果 联系起来，并使所有的秸果恰当地钠入一个普逼方案，那就还需要 作进一步的描远。这种进一步的描逃不应当被当作企图回答科学 額域之外的間題，而应看成是将規律公式化，使之簡森地表达大量 实驗的精果的一种手段。 量子力学所提供的进一步描述如下：假定可以把对光軸斜偏 振的一个光子看成部分地处于平行光軸偏振态，部分地处于垂直 光軸偏振态。斜偏振态可以被款为是某种迭加过程应用于平行隔 振态与垂直偏振态而得的精果。这就意味着，在各种偏振态之間 存在有某种特别的关系，这种关系类似于經典光学中偏振光束間 的关系，但是它現在不是应用于光束，而是应用于一个特定光子的 各个偏振态。这种关系容許任一偏振态被分解为任意两个互相垂 直的偏振态，或者說，可以破表达为任意两个互相垂直的隔振态的 迭加. 当我們赴光子遇到方解石晶体时我們就是赴它接受一次覌 察。我們要覌察它究竟是平行于光軸隔振的，还是垂直于光軸偏 振的.做这种观察的效果也就是強迫光子完全进入平行偏振态 或者完全进入垂直偏振态。它必須来一个突然的跃变，从原来部 分地处在每一种态中的情况改变为完全处在其中的某一种态中. 它究凳跳到这两态中的哪一个，是不能預料的，只是由几率規律支 配的.如果它跳入平行态，它就会破吸收了；如果它跳入垂直态， 它就通过了晶体，而在另一边出現，保留着这种偏振态 ·6·