电子科技大学：《数字通信 Digital Communications》课程教学资源（课件讲稿）第4章 AWGN信道的最佳接收机 4.4 功限信号传输的最佳检测和错误概率 4.5 不确定情况下的最佳检测（非相干检测）

4.4功限信号传输的最佳检测 和错误概率 功限信号类型：正交信号，双正交信号，单纯信号等 特点：高维星座表征，功率效率高，带宽效率低.… 1

1 4.4 功限信号传输的最佳检测 和错误概率 功限信号类型：正交信号，双正交信号，单纯信号等 特点：高维星座表征，功率效率高，带宽效率低 ……

正交信号传输的最佳检测 和错误概率 2

2 正交信号传输的最佳检测 和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率 考虑等能量正交信号的传输N=M 信号矢量： s=(E,0,K0,0) 2=(0,VE,K0,0) M SM=(0,0,K0,VE) 最佳检测器：按最大相关度量准则判决 C(r,Sm)=r·Sm= ne1,2,..,M 选择最大输出相关器对应的sm 假定发送信号s①，相应的信号向量： s=[VE,0,K,0] 接收信号向量： r=vs+m,n,K,nu] 3

3 考虑等能量正交信号的传输 N=M 信号矢量： 1 2 ( , 0, 0, 0) ( 0, , 0, 0) ( 0, 0, 0, ) = = = K K M M K s s s    = =  = M k m m k mk C r s r s r s 1 ( , ) m=1, 2, …，M 最佳检测器：按最大相关度量准则判决 选择最大输出相关器对应的sm 功限信号传输的最佳检测和错误概率 1 假定发送信号s1 (t)，相应的信号向量： s = [ , 0, , 0]  K 1 2 = + [ , , , ] M 接收信号向量： r n n n  K

功限信号传输的最佳检测和错误概率 M个相关器组的输出： =C(r,s)=VE(V+n) n=C(r,s2)=n ru =C(r,su)=nu 归一化处理后： 本个用关墨鞋的o:Rw h=√8+n 其会1个相关垂箱西的PDF：R化)产应o Im=nm m=2,3,.,M 4

4 M个相关器组的输出： 1 2 1 1 0 0 1 ( ) ( ) exp r x P x N N     − = −    第一个相关器输出的PDF： 1 1 1 r C r s n = = + ( , ) ( )   2 2 2 r C r s n = = ( , )  ( , ) M M M r C r s n = =    0 2 0 exp / 1 ( ) x N N P x r m m = − m  其余M-1个相关器输出的PDF： m =2, 3, …，M … 1 1 r n = +  归一化处理后： rm = nm 功限信号传输的最佳检测和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率 检测器正确判决的概率： (其余M-1个相关器输出nm都小于r,的概率) m=2,..M P=P(<<K)P()dn 在给定r,条件下，n2,n,…nM 将这个联合概率在 同时小于11的联合概率 所有r上平均 {Um}统计独立 联合概率可以分解为 M-1个边缘概率之积 边旅展率u<-了化恤京了。 nlIN m=2,.M 正确判决的概率： 1 2玩 P()dr 5

5 检测器正确判决的概率： 2 1 3 1 1 1 1 1 ( , , | ) ( ) P P n r n r n r r P r dr c M  − =     K 联合概率可以分解为 M-1个边缘概率之积 边缘概率 1 1 1 ( | ) ( ) m r P n r r P x dx m r m m −  =  1 0 2 1 / 2 / / 2 1 1 1 ( ) 2 M r N x P e dx P r dr c  −  − − −   =         1 0 2 / 2 / 1 / 2 2 r N x e dx  − − =  (其余M-1个相关器输出nm都小于r1的概率) 在给定r1条件下，n2 , n3 , … nM 同时小于r1 的联合概率 将这个联合概率在 所有r1上平均 {rm} 统计独立 m = 2, … M 正确判决的概率： 功限信号传输的最佳检测和错误概率 m = 2, … M

功限信号传输的最佳检测和错误概率 符号错误概率（每个符号携带k比特） P=∫(I-P)P(r)d 由于M个信号等概 上式就是平均符号错误概率 转化为 ●可以将符号SNRE/N。 比特SNRE/N,的形式 M=2 每个符号传送k比特 =k 转化为 ●将符号P。 比特错误概率P。 星座对称，发送s,时接收任何消息的概率都是相等的：ps,reevedd)-M二 P -1 一个符号(K个比特)中有比特差错的情况：一共有 种。 P 每k个比特符号的平均比特差错数： 2k-1

6 1 1 (1 ) ( )  − = − M c  P P P r dr 符号错误概率（每个符号携带k比特) 2 1 2 / 2 0 1 1 1 2 1 exp 2 2 2 −  − − −         = − − −                       M y x s P e dx y dy e N    由于M个信号等概 上式就是平均符号错误概率 ⚫可以将符号SNR 比特SNR 的形式 转化为 0  / N 0  b / N 2 M k = ⚫将符号 Pe 比特错误概率Pb 转化为 ( | 1 ) 1 2 1 e e m k P P p s received s send M = = 星座对称，发送 − − s1时接收任何消息的概率都是相等的： 每k个比特符号的平均比特差错数： 1 1 2 2 1 2 1 k k e k k e n k P n k P n − =     =   − −  一个符号 (K个比特) 中有n比特差错的情况：一共有   种。       n k b 每个符号传送k比特   = k 功限信号传输的最佳检测和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率 除于k,得到平均比特错误概率： 10 k-1 2 2-1 102 5 注意： 2 103 为了达到给定的比特错误概率，增加波形 个数M可以减少对比特SNR的要求。 蓄 M=64 M=2 104 例：P,=105时 M=32 5 M=2一SNR大约为12dB 2 -M=4 105 M=64一SNR大约为6dB M=16 5 2 M=8 发送功率节省了6dB!(减少了4倍) 106 4 0 4 8 12 1620 问题： 比特SNR Y/dB 当Moo时（即ko0),为了达到任意小 的错误概率，所要求的最小SNR是多少？ 7

7 除于k，得到平均比特错误概率： 1 2 1 2 1 2 k b e e k P P P − =  − 注意： 为了达到给定的比特错误概率，增加波形 个数M可以减少对比特SNR的要求。 例：Pb=10-5 时 M=2 —— SNR大约为12dB M=64 —— SNR大约为6dB 发送功率节省了6dB !（减少了4倍） 问题： 当M→时（即k→)，为了达到任意小 的错误概率，所要求的最小SNR是多少？ 功限信号传输的最佳检测和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率 结论： Shannon极限 若： >1n2=0.693(-1.6dB) No 当：k→0（即M=2→∞）时，P→0 在k→o（即M=2k→o)的极限情况下，达到任意小的 错误概率所要求的最小SNR为-1.6dB. 8

8 ( 2 ) 0 k e k M P →  = →  → 即 时， Shannon极限 在 k→（即M=2 k →）的极限情况下，达到任意小的 错误概率所要求的最小SNR为-1.6dB. 结论： ln 2 0.693 ( 1.6 ) 0 dB N b  = −  若： 当： 功限信号传输的最佳检测和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率 正交信号传输的特例：FSK 正交FSK信号 频率间隔： (FSK变为正交信号的要求) 2T 1为正整数 错误概率：同前面推导结果 注意： 保持正交性的频率间隔并不能使错误概率最小！ 可以证明：二进制FSK错误概率最小时的△f=0.715/T 9

9 正交信号传输的特例：FSK 频率间隔： l 为正整数 注意： 正交FSK信号 2 l f T  = 错误概率：同前面推导结果 保持正交性的频率间隔并不能使错误概率最小！ 可以证明：二进制FSK错误概率最小时的  = f T 0.715/ （FSK变为正交信号的要求） 功限信号传输的最佳检测和错误概率

功限信号传输的最佳检测和错误概率 双正交信号传输的最佳检测和错误概率 双正交信号： 由M/2个正交信号及其MW2个负值信号构成 信号矢量： S=-Sw41=(VE,0,K0,0) 2=-Sw2=(0,VE,K0,0) 信号空间N=M/2 M Sw=-S2w=(0,0,K0,VE) 解调： 用M/2个互相关器或匹配滤波器 假定发送信号s10,相应的信号向量： s=[V8,0,K,0] 接收信号向量： r=+m,n,K,ny] 10

10 双正交信号传输的最佳检测和错误概率 解调： 1 = [ , 0, , 0] s s  K 用M/2个互相关器或匹配滤波器 假定发送信号s1 (t)，相应的信号向量： 双正交信号： 由M/2个正交信号及其M/2个负值信号构成 1 2 = + [ , , , ] s N 接收信号向量： r n n n  K 信号矢量： 1 1 2 2 2 ( , 0, 0, 0) ( 0, , 0, 0) ( 0, 0, 0, ) + + = − = = − = = − = N N N N s s s s s s    K K M K 信号空间 N=M/2 功限信号传输的最佳检测和错误概率