电子科技大学：《数字通信 Digital Communications》课程教学资源（课件讲稿）第5章 载波和符号同步 5.2 载波的相位估计（2/3）

5.2.1最大似然载波相位估计 1

1 5.2.1 最大似然载波相位估计

信号参数估计 回顾： 如何获得似然函数，并导出参数估计值？ (两条途径) N个标准正 ●由的展开式 交函数}根据r代)展开式随机变量[1,2，…r] 的联合PDF来导出； ●直接处理接收信号波形，从P(r8)的连续时间等效形式中导出. 接收信号： r(t)=s(t,θ)+n(t) 向量表示：r=[,,LLw】 r=s(e)+n n:零均值高 斯白噪声 r的联合PDF: P(r10)= (n-sn(0)月 exp 2o2 其中：n=丁J),(0)dh s(0)=s(t,(1)di To 指数项的自变量： m2a2-u=Jro)-k,o明rdh (用信号波形)和s(t,表示) σ2=N/2

2 如何获得似然函数 ,并导出参数估计值? （两条途径） 信号参数估计 ⚫由 r(t) 的展开式 根据r(t)展开式随机变量 [r1 , r2 , … rN ] 的联合PDF来导出； ⚫直接处理接收信号波形，从P(r | )的连续时间等效形式中导出. 0 ( ) ( , ) ( ) n n T s s t t dt    =  0 ( ) ( ) n n T r r t t dt =   接收信号： 向量表示： 其中： ( ) n n r s n = +  r t s t n t ( ) ( , ) ( ) = +  n：零均值高 斯白噪声 2 2 1 1 ( ( )) ( | ) exp 2 2 N N n n n r s P r     =      − = −         r的联合PDF:  指数项的自变量： 0 2 2 2 1 0 1 1 lim [ ( , )] [ ( ) ( , )] 2 N n n N n T r s t r t s t dt N   →   =  − = −  （用信号波形r(t)和s(t,)表示） 2 0  = N / 2 1 2 [ , , ] N r r r r = L L N个标准正 交函数{n (t)} 回顾：

信号参数估计 回顾： 定义：似然函数 A(0)=exp Pwora P(rB)关于信号参数0的最大化问题： P(r)最大 等价于 似然函数人(0) 最大 后面将根据A(B)最大的观点研究参数估计。 估计的参数为：O→{攻} 3

3 似然函数 0 2 0 1 ( ) exp [ ( ) ( , )] T r t s t dt N      = − −        P r( | )  最大 似然函数 ( )  最大 等价于 定义： 信号参数估计 P(r| ) 关于信号参数 的最大化问题： 后面将根据( )最大的观点研究参数估计。 估计的参数为：  → { ,  } 回顾：

载波相位估计 最大似然载波相位估计 为简单起见，令（π=0），0→中 似然函数：)=ep-jrt0)-t,a No To N o To 不包含中 只有该项依 信号能量（对任何） 赖于的选择 -ce ML估计值u就是使A() o To 取最大的值 C是与无关的常数 对数似然函数： A,()= r0)s,d No To 略去常数项lnC 最大似然准则： A() 等价于、N() 最大 最大 4

4 r t s t dt N T L   = 0 ( ) ( , ) 2 ( ) 0 对数似然函数：   () () L 最大 最大 等价于 载波相位估计 最大似然载波相位估计 为简单起见，令 [ ( ) ( , )] ] 1 ( ) exp[ 2 0 0 r t s t dt N T   = − −   ( ) ( , ) ] 2 ( ) exp[ 0 0 r t s t dt N C T    =  似然函数：         = − + −    s t dt N r t s t dt N r t dt N T0 T0 T0 ( , ) 1 ( ) ( , ) 2 ( ) 1 exp 2 0 0 2 0   ML估计值 就是使 取最大的 值  ML () ˆ 不包含 信号能量(对任何） 最大似然准则： ( 0),    = → 只有该项依 赖于 的选择 C是与无关的常数 略去常数项lnC

载波相位估计 例：未调载波信号（导频信号）：s(t)=Acos2πft 接收信号 r(t)=Acos(2f+)+n(t) 中是未知相位 对数似然函数： A() 24∫r0cos(21+φ 求p,使Λ()最大→ dΛ(p) ≥0 r(t)sin(+)dt=0 do 实现方法： 采用一个环路（锁相环PLL)提取估计值. (dt PLL提供了一个未调载波相位的ML估计值 sin(2πJf什pa)） 另一种实现： 采用正交载波与()互相关 =-tan ∫r()sin2tdt/小r(0cos2对.tdh

5 ( ) cos2 = c 例：未调载波信号（导频信号）： s t A f t  接收信号 采用一个环路（锁相环PLL）提取估计值. r(t) Acos(2 f t ) n(t) =  c + + ( ) 0 L d d    令 = r t f t dt N A T L =  c + 0 ( )cos(2 ) 2 ( ) 0 对数似然函数：    ) 0 ˆ ( )sin(2 0 + =  r t f t dt T  c  ML         = −   − r t f t dt r t f t dt T c T ML c 0 0 tan ( )sin 2 ( ) cos2 ˆ 1    另一种实现： 实现方法： 载波相位估计 PLL提供了一个未调载波相位的ML估计值 是未知相位 采用正交载波与r(t)互相关 求，使 L ( )  最大  ML ˆ

载波相位估计 另一种实现方法一一 用正交载波与(0互相关。 PM. -tan Jr0sin2对1d/小r0cos2tdh X cos2πfa () 振荡器 ML =tan 亏π sin 2nfot 该估计方案直接产生了中 6

6 另一种实现方法 —— 用正交载波与r(t)互相关。         = −   − r t f t dt r t f t dt T c T ML c 0 0 tan ( )sin 2 ( ) cos2 ˆ 1    载波相位估计 该估计方案直接产生了  ML ˆ

载波相位估计 锁相环PLL 提供未调载波 cos(2t+φ) 相位的ML估计值 e(t) Loop signal filter 组成：乘法器、环路滤波器、压控振荡器 Output signal 输入信号： c0s(2gt+φ) sin(2对t+) ) 产生正弦信号， VCO输出： sin(2对t+) 乎就是中的估计值 实质上是一个正 弦信号发生器 乘法器输出： e(t)=cos(2+)sin(2+ )sin(b-可)+，sin(4aft+b+) 滤除高频分量 环路滤波器（低通）传递函数： G(s)= 1+t2S 1+TS t1>T2 环路滤波器的输出为VCO提供控制电压v(t) VCO瞬时相位： 2可1+d=2d1+Kju0d→0)=K∫o)d 由v)控制

7 载波相位估计 2 1 1 ( ) 1 s G s s   + = + 组成：乘法器、环路滤波器、压控振荡器 输入信号： VCO输出： 乘法器输出： 环路滤波器（低通）传递函数： VCO瞬时相位：cos(2f t +) c ) ˆ sin(2f c t + ) ˆ sin(4 2 1 ) ˆ sin( 2 1 ) ˆ ( ) cos(2 )sin(2          = − + + + = + + f t e t f t f t c c c 1 2     − + = + t f c t 2 f c t K v(t)dt ˆ 2    − = t (t) K v(t)dt ˆ  锁相环 PLL 滤除高频分量 环路滤波器的输出为VCO提供控制电压v(t) v(t) e(t) ) ˆ sin(2f c t + cos(2f t +) c  ˆ 就是  的估计值 产生正弦信号， 实质上是一个正 弦信号发生器 ——提供未调载波 相位的ML估计值 由v(t)控制

载波相位估计 e0=2i-) 1 in- Loop PLL简化一一等效闭环系统模型 filter G(s) ●输入信号与VCO输出相乘，忽略倍频项 ●进一步，考虑：sin(中-)≈中-中 (线性化) VCO PLL闭环传递函数： G(s)= 1+t2S H(s)= KG(s)/s 1+TS H(S)= 1+t2S 1+KG(s)/s 1+(x2+1/K)s+(/K)s2 线性化PLL的闭环系统是二阶的 标准式： H(s)= (250n-o11K)s+o 环路阻尼因子：5=0n(x2+1/K)/2 s2+250ns+0 环路自然频率：on=VK/t1 容易导出： 环路等效噪声带宽： B x1/x+K/x)_1+(r20n 4(t2+1/K 850n 8

8 PLL简化 标准式：     ˆ ) ˆ sin( −  − KG s s KG s s H s 1 ( )/ ( )/ ( ) + = 2 1 1 ( ) 1 s G s s   + = + 2 2 1 2 1 ( 1/ ) ( / ) 1 ( ) K s K s s H s    + + + + = 2 2 2 2 (2 / ) ( ) 2 − + = + + n n n n n K s H s s s      2 ( 1/ ) / 2    = + n K 1  K / n = 4( 1/ ) (1/ / ) 2 1 2 2 2 2 K K Beq + + =     n n    8 1 ( ) 2 + 2 环路等效噪声带宽： = PLL闭环传递函数： 载波相位估计 ⚫进一步，考虑： ⚫输入信号与VCO输出相乘，忽略倍频项 （线性化） 环路阻尼因子： 环路自然频率： ——等效闭环系统模型 线性化PLL的闭环系统是二阶的 容易导出： 1 ˆ ( ) sin( ) 2 e t = −  

载波相位估计 +8 5-0.3 二阶环路的频率响应 +4 0. 40.707 0 =5.0 5=1:临界阻尼 -4 -2.0 -6 51:过阻尼 -14 0.5 -16 50.3 8 2 .1 020.30.40.50.71.0 7 10 o/os PLL带宽的选择：（涉及到PLL响应速度和噪声的影响） ◆一方面，希望环路带宽足够高，以跟踪接收载波相位的变化： ◆但另一方面，环路带宽的增加，会导致更多噪声进入，最终恶化相位估计。 实践中，在PLL响应速度与相位估计中的噪声之间折中！

二阶环路的频率响应 载波相位估计 PLL带宽的选择：（涉及到PLL响应速度和噪声的影响） ◆一方面，希望环路带宽足够高，以跟踪接收载波相位的变化； ◆但另一方面，环路带宽的增加，会导致更多噪声进入，最终恶化相位估计。 实践中，在PLL响应速度与相位估计中的噪声之间折中！  =1  1  1 ：临界阻尼 ：过阻尼 ：欠阻尼

载波相位估计 加性噪声对相位估计的影响 假设PLL跟踪一个正弦信号： s(t)=Acos[2πft+t)] 信号被加性窄带噪声恶化 nt)=x(t)cos2πft-y(t)sin2πft 假定PLL输入端噪声是窄带的，噪声的同相和正交分量统计独立，是 平稳高斯过程 n(t-r)=n(t) φ=2πfT 考虑到传播延迟x对噪声项的影响： n(t)=n.(t)cos[2πft+t)】-n,(t)sin[2πft+t)] 其中：n.(t)=x(t)cos(t)+y(t)sint) n,(t)=-x(t)sing(t)+y(t)cos(t) 注意到：n.()+jim,(①=[x()+()e 两个正交分量n.O,n,()具有与x(Oy(0完全一样的统计特性！

s t A cos f t t ( ) 2 ( ) = + c c     ( ) ( ) 2 ( ) 2 c c n t x t cos f t y t sin f t = −    = + − + n t n t cos f t t n t sin f t t ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) c c s c         加性噪声对相位估计的影响 假定PLL输入端噪声是窄带的，噪声的同相和正交分量统计独立，是 平稳高斯过程 载波相位估计 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c s n t x t cos t y t sin t n t x t sin t y t cos t     = + = − + 其中：   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j t c s n t jn t x t jy t e −  + = + n t n t ( - ) ( )  = = 2 c   f 假设PLL跟踪一个正弦信号： 信号被加性窄带噪声恶化 两个正交分量nc (t),ns (t)具有与x(t),y(t)完全一样的统计特性！ 考虑到传播延迟 对噪声项的影响： 注意到：