同济大学：《现代大地控制测量》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 地球坐标系和地球椭球（2-3）椭球面上大地坐标的计算

§23椭球面上大地坐标的计算 23.1水平方向、边长观测值归算到椭球面 、水平方向观测值归算到参考椭球面的改正 包括三项改正,称为三差改正 (1).垂线偏差改正 8=(5 sin A,2-n, cos A, ct8, B (2).标高差改正 H2NP2 B12 4Bh sin 2A BH 2M 12 COS 8 h 用椭球半径的近似值代入得: Sn=0.1089cos B, sin 2A,H,(Km) Kb

§2.3 椭球面上大地坐标的计算 2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面 1、水平方向观测值归算到参考椭球面的改正 包括三项改正，称为三差改正。 (1). 垂线偏差改正 (2). 标高差改正 ( ) 1 12 1 12 12 sin A cos A ctgz  u =  − 2 2 2 12 2 2 sin 2 cos 2 A B H M e  h = 0.1089"cos sin 2 ( ) 2 1 2 2 2  h = B A H Km 用椭球半径的近似值代入得：

23.1水平方向、边长观测值归算到椭球面 (3).法截弧方向归算到大地线方向的改正 sin A. cos a e cos 12N2 B1Sn2412 6M 该项改正很小,100公里约003,只有 等控制网才估计此项改正

2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面 (3). 法截弧方向归算到大地线方向的改正 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 ' cos sin 2 12 sin cos 6 e B A N S A A N S  g = −  = − 该项改正很小，100公里约0.03“，只有一 等控制网才估计此项改正

23.1水平方向、边长观测值归算到椭球面 2、空间边长归算至参考椭球面的改正 测线端点的大地高为: h2+51+ D H2=h2+52+ν 椭球面上弦长d的计算公式 HI H, D2-(H2-H) +H1/R+H2/R.) R 省略H/R的二次项,得: d=vD2-(H,-H)(1-H/R +h R R+R

2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面 2、空间边长归算至参考椭球面的改正 测线端点的大地高为： D d H1 S H2 A12 R A21 R P1 P2 H h v H h i = + + = + + 2 2 2 1 1 1   椭球面上弦长 d 的计算公式 ( ) ( )( ) 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 H RA 1 H RA D H H d + + − − = 省略H/R的二次项，得： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 m A A A m A H H H R R R d D H H H R = + = + = − − −

231水平方向、边长观测值归算到椭球面 椭球面上的弧长为: S=2R Sin =2RA eRA 2R448R 24R4 √D2-(H2-H1)1-m+ (D2-(H2-H)R A21 R 24R

2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面 椭球面上的弧长为： D d H1 S H2 A12 R A21 R P1 P2 ( ) ( ( ) ) 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 3 3 3 1 24 1 2 48 24 2 2 2 sin A A m A A A A A A R D H H R H D H H R d d R d R d R R d S R − − +        = − − − = +         = = + −

23.1水平方向、边长观测值归算到椭球面 3.工程控制网中的地面观测元素的归算 以平均高程面作投影面,范围小,可以用球代替椭 球;球半径采用高斯平均曲率半径。计算公式为 S=VD2(2-B)(1-2n)+D2(2-B)p2 R 24R 不难证明:椭球半径的误差对边长归算结果影响很 小,而高差误差对边长归算比较敏感

2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面 3. 工程控制网中的地面观测元素的归算 以平均高程面作投影面，范围小，可以用球代替椭 球；球半径采用高斯平均曲率半径。计算公式为： ( ) ( ( ) ) 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 24 1 R D H H R H S D H H m − −  +      = − − − 不难证明：椭球半径的误差对边长归算结果影响很 小，而高差误差对边长归算比较敏感

23.2椭球面上三角形解算 、球面角超 E=a+B+y-丌 F=4R2=2Rd 2丌 B′ =4zR2 B =2R B 2丌 F=4R2 r 2R 三块面积之和为 f+f+f=2R+2F A 代入球面角超定义式,得: 8=a+B+r-I=A R

2.3.2 椭球面上三角形解算 1、球面角超 A A B B C C     = +  + −                2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 4 F R R F R R F R R = = = = = = 三块面积之和为： F F F 2 R 2F 2  +  +  =  + 代入球面角超定义式，得： 2 R F  = +  + − =

2.32椭球面上三角形解算 按球面三角公式: atb+c F ab sin 24R y-E/3 +b2+ ab sin 2R 24R2 当边长小于40公里时,第二项影响小于0.0004°,可略去 8三 2R 2 ab sin

2.3.2 椭球面上三角形解算 按球面三角公式：         + + =  +  = −         + + =  + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 sin 1 2 1 3 24 sin 1 2 1 R a b c ab R R a b c F ab       当边长小于40公里时，第二项影响小于0.0004“，可略去  sin  2 1 2 ab R =

2.32椭球面上三角形解算 2、解算球面三角形的勒让德定理 勒让德定理:对于较小的球面三角形,可用平面三角公 式来解算,只需使三个平面角等于相应的球面角减去 分之一的球面角超,而边长保持不变 sin (-/3)sin(B-a/3) sin(C-8/3) A b B C

2.3.2 椭球面上三角形解算 2、解算球面三角形的勒让德定理 勒让德定理：对于较小的球面三角形，可用平面三角公 式来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去 三分之一的球面角超，而边长保持不变。 A B C a b c ( ) ( ) ( ) c C b B a sin A  3 sin  3 sin − 3 = − = −

23.3大地主题解算 大地主题解算分类: 正算:已知(B1,L),A12,S2,计算(B2.L2),A21 反算:已知(B,L),(B2L2),计算A12,S12,A2 短距离S≤120Km 中距离120Km≤S≤400Km 长距离 S≥400Km 解算方法:级数展开: Legendre级数 Schreiber公式 Gaus平均引数公式

2.3.3 大地主题解算 大地主题解算分类： 正算：已知(B1, L1)，A12，S12，计算(B2, L2)，A21 反算：已知(B1, L1)， (B2, L2)， 计算A12，S12 ，A21 短距离 中距离 长距离 解算方法：级数展开： Legendre级数 Schreiber公式 Gauss平均引数公式 S 120Km 120Km S  400Km S  400Km

2.3.3大地主题解算 、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式 dB d2B S2 dBS 6=b-B s+ ds o(ds( 3 d L d2L S3 S+ ds S2丿2(dS3)6 dA)。(d2A)s2,(dAS3 A2-A1 s+ ds 2 S3)6 由大地线的微分公式,得其一阶导数为: dB Cos A d L SIn da tan B SIn ds M ds Nosb ds N

2.3.3 大地主题解算 1、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式    +         +          +      = − = +         +          +      = − = +         +          +      = − = 2 6 2 6 2 6 3 0 3 2 3 0 2 2 0 2 1 3 0 3 2 3 0 2 2 0 2 1 3 0 3 2 3 0 2 2 0 2 1 S dS S d A dS d A S dS dA a A A S dS S d L dS d L S dS dL l L L S dS S d B dS d B S dS dB b B B 由大地线的微分公式，得其一阶导数为： A N B dS dA N B A dS dL M A dS dB sin tan cos sin cos = = =