同济大学：《现代大地控制测量》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 地球坐标系和地球椭球（2-1）概述

第二章地球坐标系和地球椭球

第二章 地球坐标系和地球椭球

§2.1概述 大地测量采用的坐标系:天球坐标系、地球坐标系 地球坐标系:固定在地球上与地球一起自转和公转的 坐标系 地球坐标系分类:参心坐标系、地心坐标系 定义坐标系的要素:原点位置与坐标轴指向;若采用 大地坐标还需要椭球元素

§2.1 概 述 大地测量采用的坐标系：天球坐标系、地球坐标系 地球坐标系：固定在地球上与地球一起自转和公转的 坐标系 地球坐标系分类：参心坐标系、地心坐标系 定义坐标系的要素：原点位置与坐标轴指向；若采用 大地 坐标还需要椭球元素

§22地球椭球面的数学计算和有关计算 22.1地球椭球的几何、物理元素 椭球方程: Q3× Z b Q2 扁率: g=a-b P 第一偏心率: Y b2E 第二偏心率 6-E

§2.2 地球椭球面的数学计算和有关计算 2.2.1 地球椭球的几何、物理元素 椭球方程： 扁率： 第一偏心率： 第二偏心率： X Y Z O 1 2 2 2 2 2 2 + + = b Z a Y a X a a − b  = a E a a b e = − = 2 2 2 b E b a b e = − = 2 2 2

221地球椭球的几何、物理元素(续1) 几个关系式: e2=2a-a2 e 2 e e =e a=b√1+e2 b=a√1-e 1954年北京坐标系,克拉索夫斯基椭球元素: q=6378245m 298.3

2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续1） 几个关系式： ( )( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 e e e e e e e e e =  +   = − =  − − +  = 2 a = b 1+e' 2 b = a 1−e 1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素： a = 6378245m  =1 298.3

22.1地球椭球的几何、物理元素(续2) 1980年大地坐标系采用第16届 IAG-IUGG椭球, 其椭球元素为: a=6378140mGM=3986005×1014m3/s 108263×1038a=7.292115×103rad/s 可求得扁率:a=1/298257

2.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续2） 1980年大地坐标系采用第16届 IAG—IUGG 椭球， 其椭球元素为： 1 298.257 108263 10 7.292115 10 / 6378140 m GM 3.986005 10 / 8 5 2 1 4 3 2 = =  =  = =  − −   可求得扁率： J rad s a m s

222旋转椭球面的参数表示及数学性质 经线和纬线的曲线方程 Z 在XOZ坐标面上的起始经线方程: XZ Y=0 a2 b R M饶Z轴旋转,形成纬圈(平 行圈),其半径 Y r=√X2+y2 MI 经度为L的经线方程: 1 Y=X tan L

2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质 1、经线和纬线的曲线方程 在XOZ坐标面上的起始经线方程： O X Y Z M1 M0 M L L r A R S 1 0 2 2 2 2 + = Y = b Z a X M0饶Z轴旋转，形成纬圈（平 行圈），其半径： 2 2 r = X +Y 经度为L的经线方程： Y X L b Z a Y a X 1 tan 2 2 2 2 2 2 + + = =

222旋转椭球面的参数表示及数学性质(续1) 纬圈方程: X Z a2 b Z Y

2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续1） O X Y Z M1 M0 M L L r A R S 纬圈方程： 0 2 2 2 2 2 2 Z 1 Z b Z a Y a X = + + =

222旋转椭球面的参数表示及数学性质(续2) 2、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的 Frenet标架 如图为过M点的子午面。 子午线的主法线MP位于 子午面内,且垂直于子午 线切线T;R为过M点的 平行圈切线,显然R垂直 于M点的子午面,因此R垂 直于MP′。所以,MP′垂直 于椭球面在M点的切平面,因此 它是椭球面的法线。 Frene标架:曲线上任意一点处的三个相互正交的单位 向量构成是三维直角坐标系 般取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向

2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续2） 2、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的 Frenet标架 P O Q M P´ T R N A 如图为过M点的子午面。 子午线的主法线MP´位于 子午面内，且垂直于子午 线切线T；R为过M点的 平行圈切线，显然R垂直 于M点的子午面，因此R垂 直于MP´。所以， MP´垂直 于椭球面在M点的切平面，因此 它是椭球面的法线。 Frenet标架：曲线上任意一点处的三个相互正交的单位 向量构成是三维直角坐标系。 一般取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向

222旋转椭球面的参数表示及数学性质(续3) 3、旋转椭球面及经纬线的参数方程 1).以大地经度L及归化纬度u为参数的方程 在XOZ子午面内,有 X=acos u Z=bsin u 在三维空间坐标系中: X=acosu cos l Y=acos usin l Z=bsin u

2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续3） 3、旋转椭球面及经纬线的参数方程 1). 以大地经度L及归化纬度u为参数的方程 a u X Z O M´ Z b u M X a u sin cos = = 在XOZ子午面内，有 在三维空间坐标系中： Z b u Y a u L X a u L sin cos sin cos cos = = =

222旋转椭球面的参数表示及数学性质(续4) (2).以大地经纬度L、B为参数的方程 切线MT的斜率的导数式 Mo dz = tan(90+B)=-ctg B dX 90°+B B 由椭圆方程求导得: TⅩ X2 Z2 K dz bX 之=-(-)2 代入第一式得:z=X(-e2)anB①

(2). 以大地经纬度L、B为参数的方程 X Z K0 B 90°+ B O T 切线M M 0 0T的斜率的导数式： ( B) B dX dZ tan 90 ctg 0 = + = − 由椭圆方程求导得： 1 2 2 2 2 + = b Z a X ( ) Z X e a Z b X dX dZ 2 2 2 = − = − 1− 代入第一式得： Z X(1 e )tan B 2 = − 1 2.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续4）