同济大学：《现代大地控制测量》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系（3-2）正形投影与高斯-克吕格投影（3-3）高斯投影坐标正算和反算公式

§3.2正形投影与高斯-克吕格投影 321正形投影的概念和投影方程 长度比与方位角无关的投影称为正形投影,必须满足 条件E=G,F=0,即: 2 ax Ox Ox Oy ay 0 Oy o 由第二式解得: Ox ag al ag

§3.2 正形投影与高斯-克吕格投影 0 2 2 2 2 =     +              +        =           +           l y q y l x q x l y l x q y q x q x l y q y l x       = −   3.2.1 正形投影的概念和投影方程 长度比与方位角无关的投影称为正形投影，必须满足 条件E = G, F = 0，即： 由第二式解得： 1

321正形投影的概念和投影方程 代入第一式,得: 2)+(2 al ax ax aq q 即为 al 考虑到导数的方向,开根得:axoy ag al 再代入①式,得 Ox da

3.2.1 正形投影的概念和投影方程 代入第一式，得： 2 2 2 2 2 2 2 2 :            =                          +                             =           +           q x l y q y q x q x l y q y q x 即为 l y q x   =   考虑到导数的方向，开根得： q y l x   = −   再代入 1 式，得： 2 3

321正形投影的概念和投影方程 ②,③3式称为 Kauchi-Rimanr方程,满足 该方程的函数可写成复变函数关系: x =t ZI f(g+il 2=x+ g-H Z=f() 其反函数也是复变函数,可以写成: g+il=F(+iy) W=F(Z)

3.2.1 正形投影的概念和投影方程 ( ) , ( ) Z f W Z x iy W q il x iy f q il = = + = + + = + 2 ， 式称为Kauchi-Rimann方程，满足 该方程的函数可写成复变函数关系： 3 ( ) ( ) W F Z q il F x iy = + = + 其反函数也是复变函数，可以写成：

322高斯-克吕格投影的条件和性质 高斯-克吕格投影的条件: 1.是正形投影 2.中央子午线不变形 中央子午线 母线 0 投影带 母线

3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质 高斯-克吕格投影的条件： 1. 是正形投影 2. 中央子午线不变形

322高斯-克吕格投影的条件和性质 高斯投影的性质:1.投影后角度不变 2.长度比与点位有关,与方向无关 3.离中央子午线越远变形越大 为控制投影后的长度变形,采用分带投影的 方法。常用3度带或6度带分带,城市或工程控制 网坐标采用任意带分带

3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质 高斯投影的性质：1. 投影后角度不变 2. 长度比与点位有关，与方向无关 3. 离中央子午线越远变形越大 为控制投影后的长度变形，采用分带投影的 方法。常用3度带或6度带分带，城市或工程控制 网坐标采用任意带分带

322高斯-克吕格投影的条件和性质 21°233 1117122 90km" 11213 5『6 1920121 0↓-64.12141824343642-·108°14-+205+2 B ∨∨VV* 6°带中央子午线及带号 L=6n-3或为m=(L+3) L=3n或为n

3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质 3 ' 3 ' ' ( 3) 6 1 6 3 0 0 0 0 L L n n L n n L = = = − = + 或为 或为

322高斯-克吕格投影的条件和性质 理论上中央子午线的投影是x轴,赤道的投影 是y轴,其交点是坐标原点 500km x坐标是点至赤道的距离 y坐标是点至中央子午线的距离,有正有负。 为了避免y坐标出现负值,其名义坐标加上500公里 为了区分不同投影带中的点,在点的Y坐标值上1 加带号N 所以点的横坐标通用表示的值为 y=N×1000000+500000+y

3.2.2 高斯-克吕格投影的条件和性质 理论上中央子午线的投影是 x 轴，赤道的投影 是 y 轴，其交点是坐标原点。 x 坐标是点至赤道的距离； y 坐标是点至中央子午线的距离，有正有负。 为了避免 y 坐标出现负值，其名义坐标加上 500 公里。 为了区分不同投影带中的点，在点的Y坐标值上 加带号N 所以点的横坐标通用表示的值为 y = N1000000+500000+y

§33高斯投影坐标正算和反算公式 321高斯投影正算公式 L L P(,) x,y h X O赤道 考虑到,正形x+=f(q)+∑ df(q(il) k k=1 q k! 投影的导数与方向 无关,将投影点坐 x\y=0 X=f(g B 标在H点展开,得 mdB

§3.3 高斯投影坐标正算和反算公式   = = = + = + = = B y n k k k k X MdB x X f q k il dq d f q x iy f q 0 0 1 ( ) ! ( ) . ( ) ( ) 3.2.1 高斯投影正算公式 O 赤 道 X H L0 L l P(q,l) O X h L0 L P(x, y) x y x y 考虑到，正形 投影的导数与方向 无关，将投影点坐 标在H点展开，得：

331高斯投影正算公式 因此,高斯投影级数展开式可表示为: x+yy=isdx(il) k! d-x d =NcoS B d b-n sin B Cos B dB 其各阶导数为 dX N cos'B(t-1-n) d+X do i=n sin bcos'b(5-t+9n+4n) d'x =Ncos3B(5-182+t++14n2-58t2n2) = Nsin bcos B(-61+58t2-t2-270n2+330t2n2

3.3.1 高斯投影正算公式 因此，高斯投影级数展开式可表示为： sin cos ( 61 58 270 330 ) cos (5 18 14 58 ) sin cos (5 9 4 ) cos ( 1 ) cos , sin cos 5 2 4 2 2 2 6 6 5 2 4 2 2 2 5 5 3 2 2 4 4 4 3 2 2 3 3 2 2        N B B t t t dq d X N B t t t dq d X N B B t dq d X N B t dq d X N B B dq dB dq dX dB d dq d X N B dq dX = − + − − + = − + + − = − + + = − − = −         = = ! ( ) . 1 k il dq d X x iy X n k k k k = + = + 其 各 阶 导 数 为：

331高斯投影正算公式 将导数代入展开式,虚实分开后,得到高斯 投影正算公式如下: x=X+ Sin B cos B/2+=sin Bcos B(5-t+9n 2+4n)14 24 +- sin b cos3B(61-582+t4)1 720 y=NcOS BL+coS'B(1-t+n)/ 1 cos3B(5-18t2+t4+1472-58t2n2) 120

3.3.1 高斯投影正算公式 5 2 4 2 2 2 5 3 2 2 3 5 2 4 6 2 3 2 2 4 4 cos (5 18 14 58 ) 120 cos (1 ) 6 cos sin cos (61 58 ) 720 sin cos (5 9 4 24 sin cos 2 B t t t l N B t l N y N Bl B B t t l N B B t l N B Bl N x X      + − + + − = + − + + − + = + + − + + ） 将导数代入展开式，虚实分开后，得到高斯 投影正算公式如下：