同济大学：《现代大地控制测量》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系（3-1）地图投影概述

第三章高斯投影及高斯平面直角坐标系 §3.1地图投影概述 311地图投影的意义与实现 寻找椭球面上大地经纬度B,L,与平面坐标的关系 x=F(B,L) y=F2(B,D) 若投影面与原面的曲率半径不同,则必然会 生投影变形,不同的控制投影变形的方法,对应于 不同的投影

第三章 高斯投影及高斯平面直角坐标系 §3.1 地图投影概述 3.1.1 地图投影的意义与实现 ( , ) ( , ) 2 1 y F B L x F B L = = 寻找椭球面上大地经纬度B,L，与平面坐标的关系 若投影面与原面的曲率半径不同，则必然会产 生投影变形，不同的控制投影变形的方法，对应于 不同的投影

312地图投影变形及其表述 1、投影长度比、等量纬度及其表示式 长度比:投影后长度与椭球面上长度之比 2 投影平面上微分长度:ds2=ax2+h 椭球面上微分长度: MdB ds=MdB+N cos BdL=N cOS B( N coS aL) =N coS B(dq +dL)

3.1.2 地图投影变形及其表述 1、投影长度比、等量纬度及其表示式 2 2 2 dS ds m = 2 2 2 ds = dx + dy 长度比：投影后长度与椭球面上长度之比。 cos ( ) ) cos cos cos ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 N B dq dL dL N B M dB dS M dB N BdL N B = + = + = + 投影平面上微分长度： 椭球面上微分长度：

312地图投影变形及其表述 上式中 mdB Ncos B q为等量纬度,计算公式为 B MdB dr -intg C +o/xe 丌B esin B Ncos B 22(1+esnB) 引入等量纬度后,使相同的dq与dL所对应的 椭球面上的弧长相同

3.1.2 地图投影变形及其表述 上式中 N B MdB dq cos = (1 sin ) (1 sin ) . 2 ) 4 2 ln ( cos 0 e B B e e B dB t g N B MdB q B + − = = + +   q为等量纬度，计算公式为 引入等量纬度后，使相同的dq与dL所对应的 椭球面上的弧长相同

3.12地图投影变形及其表述 引入等量纬度后,投影公式为: x=fi(g, D q 其中:l=L-Lo 求微分,得: dx= q dy ag q al

3.1.2 地图投影变形及其表述 dl l y dq q y dy dl l x dq q x dx   +   =   +   = ( , ) ( , ) 2 1 y f q l x f q l = = 引入等量纬度后，投影公式为： 求微分，得： 其中：l = L - L0

3.12地图投影变形及其表述 根据微分几何,其第一基本形式为: ds= Ed +2 Fdqdl+Gdl 其中: E=()2+() ax、ox)x0Ol )( )() da ol G=( al

3.1.2 地图投影变形及其表述 根据微分几何，其第一基本形式为： 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) l y l x G l y q y l x q x F q y q x E   +   =     +     =   +   = 2 2 2 ds = Edq + 2Fdqdl +Gdl 其中：

3.12地图投影变形及其表述 则,长度比公式为: 2ds- Edq+2 gdl +Gd/2 ds Ncos B(dq +d) Ncos Bal dl 将tgA 代入上式,得: MdB Ecos A+2F cos asin a+sina NcoS B

3.1.2 地图投影变形及其表述 cos ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 N B dq dl Edq Fdqdl Gdl dS ds m + + + = = dq dl MdB N Bdl tgA = = cos N B E A F A A G A m 2 2 2 2 2 cos cos + 2 cos sin + sin = 则，长度比公式为： 将 代入上式，得：

3.12地图投影变形及其表述 E 1A=0°或180°,得经线方向长度比:mL= NcoS B √G 当A=90°或270°,得纬线方向长度比:mB Ncos B 要使长度比与方向无关,只要:F=0,E=G, 则长度比可表示为: E Ncos N cos B

3.1.2 地图投影变形及其表述 N B G mB cos = N B E mL cos 当A=0°或180 °，得经线方向长度比： = 当A = 90°或270 °，得纬线方向长度比： N B G N B E m cos cos = = 要使长度比与方向无关，只要：F = 0, E = G， 则长度比可表示为：

3.12地图投影变形及其表述 长度比与1之差,称为长度变形,即: v.=m-1 vn>0,投影后长度变大,反之,投影后长度变短

3.1.2 地图投影变形及其表述 长度比与1之差，称为长度变形，即： dS ds dS vm m − = −1 = vm>0，投影后长度变大，反之，投影后长度变短

3.12地图投影变形及其表述 2、主方向和变形椭圆 主方向:两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍 然正交,则这两个方向为主方向 性质:主方向投影后具有最大和最小尺度比 d2=m2、( Ncos Bdq)2 +2mnm, n cos b cos dadi dS cos Bdq W cos Agml +m2、( N cos Bc) Ncos Bdl 对照第一基本形式,得: n cos bdl→ E=mi(n cos b)2 G=m(n cos b) H. cos= F F=mom, cos Bcos e √EG

3.1.2 地图投影变形及其表述 2、主方向和变形椭圆 2 2 2 2 2 2 2 .( cos ) 2 cos cos .( cos ) m N Bdl m m N B dqdl ds m N Bdq B B L L + + =  cos cos ( cos ) ( cos ) 2 2 2 2 2 2 F m m N B E m N B G m N B B L L B = = = 主方向：两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍 然正交，则这两个方向为主方向。 性质：主方向投影后具有最大和最小尺度比。 dS A N cosBdl N cos Bdq  N BdlmB cos N BdqmL cos ds 对照第一基本形式，得： 且： EG F cos =

3.12地图投影变形及其表述 代入长度比公式,得: m=m cos a+m,m, cos esin 2A+ma"a Ep:(m)=-mi sin 240+2mg m, CoS 0 cos 2 Ao +mB sin 2A=0 2mm cos e 解得:g2A mp-mn 由三角公式得: COs2A6=± 土 +g32A4y(m2+m2)2-4m2m2sm2O si2A4=土1-cos24=± 21 nm mn cos 6 V(m2+m2)2-4m2m2sin20

3.1.2 地图投影变形及其表述 代入长度比公式，得： ( ) sin 2 2 cos cos 2 sin 2 0 cos cos sin 2 sin 0 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 = − + + = = + + m m A m m A m A dA d m m A m m A m A L B L B L B L B   即： 0 2 2 2 cos 2 B L B L m m m m tg A − = −  解得：  2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 0 1 2 ( ) 4 sin 1 cos 2 B L L B L B m m m m m m t g A A + − − =  + =    2 2 2 2 2 2 0 2 0 ( ) 4 sin 2 cos sin 2 1 cos 2 B L L B L B m m m m m m A A + − =  − =  由三角公式得：